Equazione differenziale da risolvere con Laplace
Provare usando la trasformata di Laplace, che l'unica soluzione del seguente problema:
$\{(y'(t)-y(t)=(y'' ** y')(t)),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
è quella identicamente nulla.
Io c'ho provato ma qualcosa non mi torna.
Sapendo che $L[y'(t)](s)=sY(s)-f(0)$ e che $L[y''(t)](s)=s^2Y(s)-s*f(0) -f'(0)$
Ottengo:
$sY(s)-Y(s)=s^2Y(s)*sY(s)$
$Y(s)={s-1}/s^3 = 1/s^2 - 1/s^3$ e antitrasformando:
$y(t)=t-t^2$
Però dovrebbe venire 0, o sbaglio? Come dimostro che la soluzione è identicamente nulla?
$\{(y'(t)-y(t)=(y'' ** y')(t)),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
è quella identicamente nulla.
Io c'ho provato ma qualcosa non mi torna.
Sapendo che $L[y'(t)](s)=sY(s)-f(0)$ e che $L[y''(t)](s)=s^2Y(s)-s*f(0) -f'(0)$
Ottengo:
$sY(s)-Y(s)=s^2Y(s)*sY(s)$
$Y(s)={s-1}/s^3 = 1/s^2 - 1/s^3$ e antitrasformando:
$y(t)=t-t^2$
Però dovrebbe venire 0, o sbaglio? Come dimostro che la soluzione è identicamente nulla?
Risposte
La trasformata della tua equazione puoi riscriverla nella forma
$s^3 Y^2-(s-1)Y=0$ che ti dà due soluzioni:
$Y(s)=0,\qquad Y(s)={s-1}/{s^3}=1/s^2-1/s^3$
le cui antitrasformate sono $y(t)=0,\qquad y(t)=t-{t^2}/{2}$. Ora, c'è un motivo per cui la seconda soluzione non va bene: quale? (e non è assolutamente collegato alle trasformate di Laplace!)
$s^3 Y^2-(s-1)Y=0$ che ti dà due soluzioni:
$Y(s)=0,\qquad Y(s)={s-1}/{s^3}=1/s^2-1/s^3$
le cui antitrasformate sono $y(t)=0,\qquad y(t)=t-{t^2}/{2}$. Ora, c'è un motivo per cui la seconda soluzione non va bene: quale? (e non è assolutamente collegato alle trasformate di Laplace!)
Dunque, onestamente, anche se si parlava di risolvere l'equazione non mi era venuto in mente di eguagliare a 0.
O meglio, di solito scrivo sempre qualcosa del tipo $Y(s)=\cdots$ ... ma effettivamente risolvendo rispetto a Y, riesco a vederla meglio.
Non riesco ad arrivarci al perché del fatto che la seconda soluzione non vada bene. Qualche altro indizio per aiutarmi a ragionarci? Immagino che sia facile ma non c'arrivo!
Mi era venuto in mente di sostituire la soluzione nell'equazione principale, ma poi è un casino per calcolare la convoluzione. Magari se l'uguaglianza non venisse verificata potrei rispondere alla domanda, ma mi sa che non si procede così.
O meglio, di solito scrivo sempre qualcosa del tipo $Y(s)=\cdots$ ... ma effettivamente risolvendo rispetto a Y, riesco a vederla meglio.
Non riesco ad arrivarci al perché del fatto che la seconda soluzione non vada bene. Qualche altro indizio per aiutarmi a ragionarci? Immagino che sia facile ma non c'arrivo!
Mi era venuto in mente di sostituire la soluzione nell'equazione principale, ma poi è un casino per calcolare la convoluzione. Magari se l'uguaglianza non venisse verificata potrei rispondere alla domanda, ma mi sa che non si procede così.
Il "Teorema di Esistenza e Unicità" per le equazioni differenziali ti dice qualcosa?
Tra l'altro, facendo come dici tu, avresti $y'(t)=1-t$, $y''(t)=-1$ e quindi
$(y''\star y')(y)=\int_0^t (t-1)\ d\tau=(t-1)t=t^2-t$ mentre $y'(t)-y(t)=1-t-t+t^2/2=1-2t+t^2/2$ e quindi vedresti subito che tale soluzione non va bene!
Tra l'altro, facendo come dici tu, avresti $y'(t)=1-t$, $y''(t)=-1$ e quindi
$(y''\star y')(y)=\int_0^t (t-1)\ d\tau=(t-1)t=t^2-t$ mentre $y'(t)-y(t)=1-t-t+t^2/2=1-2t+t^2/2$ e quindi vedresti subito che tale soluzione non va bene!
passavo di qua e mi vengono delle domande... mi perdoni fcbyborg se intervengo....
- applicando la trasformata di Laplace sto supponendo che esiste una soluzione valida per ogni $t>=0$?
- come agiresti ciampax per applicare il teorema di esistenza e unicità?.... non bisogna esplicitare un campo vettoriale?
- forse non ricordo le definizioni ma non mi torna la convoluzione dell'ultimo post... potresti esplicitarla=
- applicando la trasformata di Laplace sto supponendo che esiste una soluzione valida per ogni $t>=0$?
- come agiresti ciampax per applicare il teorema di esistenza e unicità?.... non bisogna esplicitare un campo vettoriale?
- forse non ricordo le definizioni ma non mi torna la convoluzione dell'ultimo post... potresti esplicitarla=
@ Thomas:
- sì, effettivamente devi supporre esista una soluzione per ogni $t\ge 0$;
- effettivamente forse non è così immediato applicare il teorema;
- Se hai funzioni con dominio $[0,+\infty)$ la convoluzione si definisce così: $(f\star g)(t)=\int_0^ t f(\tau)\cdot g(t-\tau)\ d\tau$.
- sì, effettivamente devi supporre esista una soluzione per ogni $t\ge 0$;
- effettivamente forse non è così immediato applicare il teorema;
- Se hai funzioni con dominio $[0,+\infty)$ la convoluzione si definisce così: $(f\star g)(t)=\int_0^ t f(\tau)\cdot g(t-\tau)\ d\tau$.
mmm...
ma se la definizione è quella e vale cmq la relazione che vale per le traformate con le convoluzioni... e se i passaggi erano reversibili (a questo punto... dove falliscono?) dovrebbe tornare anche quella come soluzione, o no?
ma se la definizione è quella e vale cmq la relazione che vale per le traformate con le convoluzioni... e se i passaggi erano reversibili (a questo punto... dove falliscono?) dovrebbe tornare anche quella come soluzione, o no?
In effetti anche a me sta cosa mi inghippa non poco. Credo che il problema stia nell'equazione algebrica che viene fuori trasformando l'equazione originale. Il fatto che abbia 2 soluzioni (per la $Y$) anziché una sola dovrebbe dire qualcosa... ma al momento la cosa mi sfugge!
Aspeeeeeeeeeeeeeeeeee....................... ma che imbecille! La cosa è più semplice: è vero, vengono due soluzioni, e sono, in teoria, entrambe accettabili per la SOLA equazione! Ma una delle due non soddisfa alle condizioni iniziali! Infatti
$y(t)=t-t^2/2,\qquad y'(t)=1-t$ e si ha $y(0)=0,\qquad y'(0)=1$ per cui non è verificata la condizione iniziale per la derivata!
Aspeeeeeeeeeeeeeeeeee....................... ma che imbecille! La cosa è più semplice: è vero, vengono due soluzioni, e sono, in teoria, entrambe accettabili per la SOLA equazione! Ma una delle due non soddisfa alle condizioni iniziali! Infatti
$y(t)=t-t^2/2,\qquad y'(t)=1-t$ e si ha $y(0)=0,\qquad y'(0)=1$ per cui non è verificata la condizione iniziale per la derivata!
eh si... ma questo non spiega perchè la seconda soluzione non verifica proprio l'equazione differenziale stando ai tuoi calcoli, e non solo le condizioni iniziali...
Aah!!! Ecco! Quindi basta usare i vincoli per vedere che non va bene la seconda!
"Thomas":
eh si... ma questo non spiega perchè la seconda soluzione non verifica proprio l'equazione differenziale stando ai tuoi calcoli, e non solo le condizioni iniziali...
nothing to say about that?
Allora, l'ho guardata e riguardata. Mi sono reso conto che, alla fine, provare ad applicare il teorema di esistenza è unicità è impossibile (a parte che dire perché il dato sia Lipschitz mi risulta arduo!). Mi viene da pensare a questo:
1) o è una cosa stupida, del tipo: visto che una delle due non risolve, allora l'unica possibile soluzione è $y(t)=0$ (e la qual cosa potrebbe pure essere, visto che a volte in questi esercizi "tecnici" le dimostrazioni vengono richieste sulla base di osservazione dei "fatti" più che su qualche risultato matematico profondo);
2) oppure la cosa è talmente profonda (o talmente banale) da non balzarmi agli occhi.
Per l'ipotesi 2, avevo pensato che la cosa potesse avere a che fare con "l'algebra" delle soluzioni, visto che bisogna risolvere l'equazione $Y(s^3 Y-s+1)=0$ e che ci fosse qualche problema tipo "divisori dello zero". Ma sinceramente, non riesco a formalizzarlo!
Thomas,, tu qualche idea?
1) o è una cosa stupida, del tipo: visto che una delle due non risolve, allora l'unica possibile soluzione è $y(t)=0$ (e la qual cosa potrebbe pure essere, visto che a volte in questi esercizi "tecnici" le dimostrazioni vengono richieste sulla base di osservazione dei "fatti" più che su qualche risultato matematico profondo);
2) oppure la cosa è talmente profonda (o talmente banale) da non balzarmi agli occhi.
Per l'ipotesi 2, avevo pensato che la cosa potesse avere a che fare con "l'algebra" delle soluzioni, visto che bisogna risolvere l'equazione $Y(s^3 Y-s+1)=0$ e che ci fosse qualche problema tipo "divisori dello zero". Ma sinceramente, non riesco a formalizzarlo!
Thomas,, tu qualche idea?
no nessuna idea in particolare... all'inizio pensavo che la convoluzione fosse definita nel solito modo con l'integrale su tutto $RR$ (se la funzione è definita solo per $t>0$ wikipedia moltiplica per Heaviside) e quindi provando a sostituire gli integrali della convoluzione erano mal definiti (non convergevano)....
però io non ho mai usato finore trasformate di laplace, solo Fourier... e tu ne sai ovviamente di più...
però io non ho mai usato finore trasformate di laplace, solo Fourier... e tu ne sai ovviamente di più...
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