Equazione differenziale con termine noto e^x
Quando il termine noto di un'equazione differenziale è formato solo da un'esponenziale, qual è il grado del polinomio che devo sostituire nella formula per la soluzione particolare?
Ho questo esercizio, di cui ho già trovato la soluzione omogenea:
$ y'' +3y'+2y=1/(1+e^x) $
Ho pensato di riscrivere $ 1/(1+e^x) $ come $ e^(-x) e^x/(1+e^x) $ e considerare $ alpha = -1 $ come esponente per e nella formula:
$ y=x^me^(alphax)[P(x)cosbeta x+Q(x)senbetax] $
x è elevata ad 1 (molteplicità della soluzione) e $ beta = 0 $.
$ y=xe^(-x)[P(x)] $
Ma di che grado deve essere P(x)? Zero?
Ho questo esercizio, di cui ho già trovato la soluzione omogenea:
$ y'' +3y'+2y=1/(1+e^x) $
Ho pensato di riscrivere $ 1/(1+e^x) $ come $ e^(-x) e^x/(1+e^x) $ e considerare $ alpha = -1 $ come esponente per e nella formula:
$ y=x^me^(alphax)[P(x)cosbeta x+Q(x)senbetax] $
x è elevata ad 1 (molteplicità della soluzione) e $ beta = 0 $.
$ y=xe^(-x)[P(x)] $
Ma di che grado deve essere P(x)? Zero?
Risposte
Ciao maxira,
La tua idea di soluzione non è corretta.
L'equazione differenziale proposta però si può scrivere nella forma seguente:
$(y'' + 2y') + (y' + 2y) = 1/(e^x + 1) $
Il che ci suggerisce di porre $z := y' + 2y $. Moltiplicando poi entrambi i membri per $e^x $...
La tua idea di soluzione non è corretta.
L'equazione differenziale proposta però si può scrivere nella forma seguente:
$(y'' + 2y') + (y' + 2y) = 1/(e^x + 1) $
Il che ci suggerisce di porre $z := y' + 2y $. Moltiplicando poi entrambi i membri per $e^x $...
Così?
$ z=y'+2y $
$ z'=y''+2y' $
$ z'+z=1/(e^x+1) $
$ A(x)=int_()^() a(x) dx =int_()^() 1 dx = x+C $
$ z=e^(-A(x))[int_()^() e^(A(x))f(x) dx +C] $
$ z=e^(-x)[int_()^() e^x/(1+e^x) dx +C] $
$ z=e^(-x)[ln|1+e^x| +C] $
$ y'+2y=e^(-x)[ln|1+e^x| +C] $
Che posso risolvere allo stesso modo, ottenendo:
$ y=((1+e^x)(ln(1+e^x)-1)+C)/e^(2x) $
$ z=y'+2y $
$ z'=y''+2y' $
$ z'+z=1/(e^x+1) $
$ A(x)=int_()^() a(x) dx =int_()^() 1 dx = x+C $
$ z=e^(-A(x))[int_()^() e^(A(x))f(x) dx +C] $
$ z=e^(-x)[int_()^() e^x/(1+e^x) dx +C] $
$ z=e^(-x)[ln|1+e^x| +C] $
$ y'+2y=e^(-x)[ln|1+e^x| +C] $
Che posso risolvere allo stesso modo, ottenendo:
$ y=((1+e^x)(ln(1+e^x)-1)+C)/e^(2x) $
La soluzione $z(x) $ che hai trovato è corretta, anche se ti avevo suggerito di moltiplicare per $e^x $ perché $ z'+z=1/(e^x+1) \implies z'e^x + z e^x = e^x/(e^x+1) \implies D[z e^x] = e^x/(e^x+1) $, per cui bastava integrare il membro di destra per determinare $z(x) $; poi ometterei il modulo sull'argomento del logaritmo perché siamo sicuri che $e^x + 1 > 0 \quad \AA x \in \RR $ per cui si ha:
$z = z(x) = e^{-x}[ln(1+e^x) + c] $
Ricordando la posizione effettuata dunque occorre risolvere l'equazione differenziale del primo ordine seguente:
$ y'+2y = e^{-x}[ln(1+e^x) + c] $
Anche qui si potrebbe usare il trucchetto di moltiplicare ambo i membri per $e^{2x} $ ma se non lo vuoi fare naturalmente puoi procedere ugualmente... Attenzione però che, senza neanche fare i conti, sono sicuro che la soluzione $y(x) $ che hai trovato non è corretta: questo perché essendo $y(x) $ soluzione di una equazione differenziale del secondo ordine deve contenere due costanti $c_1 $ e $c_2 $, non una...
$z = z(x) = e^{-x}[ln(1+e^x) + c] $
Ricordando la posizione effettuata dunque occorre risolvere l'equazione differenziale del primo ordine seguente:
$ y'+2y = e^{-x}[ln(1+e^x) + c] $
Anche qui si potrebbe usare il trucchetto di moltiplicare ambo i membri per $e^{2x} $ ma se non lo vuoi fare naturalmente puoi procedere ugualmente... Attenzione però che, senza neanche fare i conti, sono sicuro che la soluzione $y(x) $ che hai trovato non è corretta: questo perché essendo $y(x) $ soluzione di una equazione differenziale del secondo ordine deve contenere due costanti $c_1 $ e $c_2 $, non una...
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