Equazione differenziale con sostituzione

[fedeth]

Salve ragazzi, non riesco a trovare una sostituzione giusta per riuscire a risolvere questo problema di cauchy, qualcuno potrebbe darmi un suggerimento ?

$ { ( y' = (2y)/x + e^x*x^2 ),( y(1) = 0 ):} $

Avevo provato a porre inizialmente:

$ z/2 = y/x $ e $ (z')/2 = (y')/x - z/x $

Come risultato ottengo : $ x^2e^x - xe^x + xc $ e sostituendo la condizione iniziale ottengo c = 0.

Tuttavia wolfram mi da un risultato diverso, e quindi magari la sostituzione che ho eseguito non è corretta !
Potete darmi una mano ?

[pater46]

Scusami, ma non capisco perchè devi effettuare la sostituzione?

Basterebbe moltiplicare ambo i membri per x e procedere integrando la omogenea. Il termine noto, tra l'altro, è il forma comoda, quindi è pure facile trovare le soluzioni particolari.

[fedeth]

Scusami, ma non sono proprio un asso a matematica....
se moltiplicassi tutto per x otterrei :

$ y'x = 2y + e^x*x^3 $

ma in questo modo non ho la derivata prima isoltata, quindi non so come poter integrare entrambi i membri !

[j18eos]

Così diventa un'equazione differenziale lineare di primo ordine, la sai risolvere?

[fedeth]

Scusate ragazzi ma credevo che moltiplicando tutto per x al primo termine venisse:

$ y'(x)x $ e credevo che in questa forma non fosse risolvibile integrandolo semplicemente... !

[pater46]

Mmm.. sai che non ti sto seguendo? Ora considera l'omogenea. Isola la x ed integra entrambi i membri, ti verranno due logaritmi, porta il tutto in forma esponenziale e vedrai che l'integrale è davvero banale.