Equazione differenziale con problema di cauchy
Salve ho svolto un'eqauzione differenziale lineare non omogenea a coefficinti costanti tramite il metodo della variazione delle costanti e non so risolvere il problema di cauchy
mi potreste aiutare l 'eq è \(\displaystyle y′′−3y′+2y=2xe^{{{2}{x}}} \)
svolgo l'omogena trovo \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}} \)
(con c1 e c2 con 1 e 2 sono i pedici non valori)
poi trasformo il risultato facendo divenire c1(x) e c2(x)
\(\displaystyle y=c1(x)e^x+c2(x)e^{{{2}{x}}} \)
ora considero il sistema fatto da
1 eq : \(\displaystyle c′1e^x+c′2e^{{{2}{x}}}=0 \)
2 eq : \(\displaystyle c′1e^x+c′2e^{{{2}{x}}}∗(−2)=2xe^{{{2}{x}}} \)
tramite il wronksiano che è = \(\displaystyle e^{{{3}{x}}} \)
e tramite cramer
trovo \(\displaystyle c′1(x)=−2e^x \)
e \(\displaystyle c′2(x)=2 \)
faccio gli integrali e
\(\displaystyle c1=−2e^x \)
\(\displaystyle c2=2x \)
sostituendo nelle eq \(\displaystyle y=c1(x)e^x+c2(x)e^{{{2}{x}}} \) mi trovo \(\displaystyle −2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) che sommata all' equazione del omogena asscociata è \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}}−2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) che coincide con la soluzione de libro che è uguale a \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) poiche \(\displaystyle c'2=c2-2 \)
il problema di cauchy dice y(0)=0 e y'(0)=0
mi potreste aiutare l 'eq è \(\displaystyle y′′−3y′+2y=2xe^{{{2}{x}}} \)
svolgo l'omogena trovo \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}} \)
(con c1 e c2 con 1 e 2 sono i pedici non valori)
poi trasformo il risultato facendo divenire c1(x) e c2(x)
\(\displaystyle y=c1(x)e^x+c2(x)e^{{{2}{x}}} \)
ora considero il sistema fatto da
1 eq : \(\displaystyle c′1e^x+c′2e^{{{2}{x}}}=0 \)
2 eq : \(\displaystyle c′1e^x+c′2e^{{{2}{x}}}∗(−2)=2xe^{{{2}{x}}} \)
tramite il wronksiano che è = \(\displaystyle e^{{{3}{x}}} \)
e tramite cramer
trovo \(\displaystyle c′1(x)=−2e^x \)
e \(\displaystyle c′2(x)=2 \)
faccio gli integrali e
\(\displaystyle c1=−2e^x \)
\(\displaystyle c2=2x \)
sostituendo nelle eq \(\displaystyle y=c1(x)e^x+c2(x)e^{{{2}{x}}} \) mi trovo \(\displaystyle −2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) che sommata all' equazione del omogena asscociata è \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}}−2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) che coincide con la soluzione de libro che è uguale a \(\displaystyle y=c1e^x+c2e^{{{2}{x}}}+2xe^{{{2}{x}}} \) poiche \(\displaystyle c'2=c2-2 \)
il problema di cauchy dice y(0)=0 e y'(0)=0
Risposte
Ciao
ma sei obbligato ad usare il metodo di variazione delle costanti?
con un termine non omogeneo del tipo $P(x)\cdot e^(alpha x)$ esistono metodi molto pià rapidi e sbrigativi
ma sei obbligato ad usare il metodo di variazione delle costanti?
con un termine non omogeneo del tipo $P(x)\cdot e^(alpha x)$ esistono metodi molto pià rapidi e sbrigativi
Non sono obbligato ma quest'altro medoto non lo so usare perchè non so trovare lintegrale particolare.
Ok allora direi di provare a vedere insieme l'altro metodo, che secondo me ti semplifica di molto la vita
l'equazione omogenea associata è
$y''-3y'+2y=0$ che ci porta ad un'algebrica del tipo $lambda^2-3 lambda +2 =0$ che ci porta a due soluzioni
$lambda_1 =1$ e $lambda_2 = 2$
quindi l'integrale generale diventa
$y_G = c_1 e^x + c_2 e^(2x)$
come tu stesso avevi trovato e fino a qui ci siamo
ora notiamo che la componente non omogenea è del tipo $P(x) e^(alpha x)$
dove nel nostro caso $P(x) = 2x$ (ovvero un polinomio di primo grado) e $alpha = 2$
notiamo subito che $alpha = 2$ è anche una delle soluzioni dell'algebrica di prima quindi l'integrale particolare sarà
$y_P = x^r Q(x) e^(alpha x)$
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$ e $r$ è la molteplicità della soluzione dell'algebrica (nel nostro casi pari a $1$)
quindi l'integrale particolare è
$y_P = x (Ax+B) e^(2 x)$
ora prova a proseguire, se hai ancora dubbi chiedi pure
ciao
l'equazione omogenea associata è
$y''-3y'+2y=0$ che ci porta ad un'algebrica del tipo $lambda^2-3 lambda +2 =0$ che ci porta a due soluzioni
$lambda_1 =1$ e $lambda_2 = 2$
quindi l'integrale generale diventa
$y_G = c_1 e^x + c_2 e^(2x)$
come tu stesso avevi trovato e fino a qui ci siamo
ora notiamo che la componente non omogenea è del tipo $P(x) e^(alpha x)$
dove nel nostro caso $P(x) = 2x$ (ovvero un polinomio di primo grado) e $alpha = 2$
notiamo subito che $alpha = 2$ è anche una delle soluzioni dell'algebrica di prima quindi l'integrale particolare sarà
$y_P = x^r Q(x) e^(alpha x)$
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$ e $r$ è la molteplicità della soluzione dell'algebrica (nel nostro casi pari a $1$)
quindi l'integrale particolare è
$y_P = x (Ax+B) e^(2 x)$
ora prova a proseguire, se hai ancora dubbi chiedi pure
ciao
Scusami ma non ho capito bene questo metodo cos'è la molteplicità e quando ammette l'integrale particolare. ho le idee molto confuse su questo metodo :S
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