Equazione differenziale con problema di cauchy
Salve a tutti, ho questa equazione differenziale con annesse condizioni:
y''+4y=sin x
y(0)=0
y'(0)=1
Ho provato con il nucleo risolvente di Cauchy, con il metodo di Lagrange ma mi risultano metodi troppo lunghi da applicare in questo caso, e alla fine mi perdo. C'è qualche modo più semplice per affrontare questo tipo di equazioni differenziali? Grazie.
y''+4y=sin x
y(0)=0
y'(0)=1
Ho provato con il nucleo risolvente di Cauchy, con il metodo di Lagrange ma mi risultano metodi troppo lunghi da applicare in questo caso, e alla fine mi perdo. C'è qualche modo più semplice per affrontare questo tipo di equazioni differenziali? Grazie.
Risposte
4 passaggi:
1) Risolvi l'equazione omogenea, vale a dire $y'' + 4y = 0$
2) Trova una soluzione particolare dell'equazione completa $y'' + 4y = sin(x)$
3)Somma le due soluzioni trovate sopra, ottenendo così tutte le soluzioni all'equazione completa.
4) Applica le condizioni ai dati iniziali per trovare le costanti
1) $y'' + 4y = 0$ mi darà $t^2 + 4 = 0$ e quindi $t = +- 2i$ da cui ottengo $y_O(x) = k_1 e^(2ix) + k_2 e^(-2ix)$. Vado a scriverlo in forma trigonometrica usando la relazione di Eulero ed ottengo $y_O(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$, con $c_1 , c_2 in CC$ a priori (in realtà mi aspetto siano reali, come si vedrà dopo)
2) Cerco una soluzione particolare dell'equazione completa. Dato che il termine non omogeneo è $sin(x)$, mi aspetto che la soluzione sia del tipo $y_P(x) = A cos(x) + B sin(x)$. Derivo ed ho $y_P''(x) = -Acos(x) - B sin(x)$, e sostituendo nell'equazione di partenza ottengo $A=0, B=1/3$.
3) Sommo $y_O(x)$ ed $y_P(x)$ ottenendo $y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(x) + 1/3 sin(x)$, che è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
4)Risolvendo $y(0)=0$ e $y'(0) = 1$ trovo $c_1 = 0$ e $c_2 = 1/3$, bam e fine
1) Risolvi l'equazione omogenea, vale a dire $y'' + 4y = 0$
2) Trova una soluzione particolare dell'equazione completa $y'' + 4y = sin(x)$
3)Somma le due soluzioni trovate sopra, ottenendo così tutte le soluzioni all'equazione completa.
4) Applica le condizioni ai dati iniziali per trovare le costanti
1) $y'' + 4y = 0$ mi darà $t^2 + 4 = 0$ e quindi $t = +- 2i$ da cui ottengo $y_O(x) = k_1 e^(2ix) + k_2 e^(-2ix)$. Vado a scriverlo in forma trigonometrica usando la relazione di Eulero ed ottengo $y_O(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$, con $c_1 , c_2 in CC$ a priori (in realtà mi aspetto siano reali, come si vedrà dopo)
2) Cerco una soluzione particolare dell'equazione completa. Dato che il termine non omogeneo è $sin(x)$, mi aspetto che la soluzione sia del tipo $y_P(x) = A cos(x) + B sin(x)$. Derivo ed ho $y_P''(x) = -Acos(x) - B sin(x)$, e sostituendo nell'equazione di partenza ottengo $A=0, B=1/3$.
3) Sommo $y_O(x)$ ed $y_P(x)$ ottenendo $y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(x) + 1/3 sin(x)$, che è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
4)Risolvendo $y(0)=0$ e $y'(0) = 1$ trovo $c_1 = 0$ e $c_2 = 1/3$, bam e fine
Ti ringrazio tanto, ma non mi è chiaro il secondo punto. Come faccio a trovare la soluzione particolare? Cioè che vuol dire che siccome il termine non omogeneo è sen(x) mi aspetto che la soluzione sia yp(x)=Acos(x)+Bsen(x)? Grazie ancora.
Quello è il cosiddetto "metodo di somiglianza". 
Ah non sapevo si chiamasse così, benchè abbia senso in pratica, per equazioni così semplici, puoi intuire la forma di almeno una soluzione: se hai un $sin(x)$ come termine non omogeneo allora per forza dovrai avere funzioni trigonometriche, se hai $e^(ax)$ allora esponenziali, e via dicendo.
Ti lascio una dispensina di esercizi svolti che dovrebbe aiutarti.
http://al3xios.altervista.org/images/esercizi.pdf
in pratica, per equazioni così semplici, puoi intuire la forma di almeno una soluzione: se hai un $sin(x)$ come termine non omogeneo allora per forza dovrai avere funzioni trigonometriche, se hai $e^(ax)$ allora esponenziali, e via dicendo. Ti lascio una dispensina di esercizi svolti che dovrebbe aiutarti.
http://al3xios.altervista.org/images/esercizi.pdf
Grazie!
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