Equazione differenziale con parametro
buona sera a tutto? sapreste dirmi come risolvere questa equazione differenziale:
dx/dt= -εxsin^2(t) con 0<ε<<1 e x=x_0 in t=0
vi ringrazio!
dx/dt= -εxsin^2(t) con 0<ε<<1 e x=x_0 in t=0
vi ringrazio!
Risposte
Ciao. Potresti scrivere in formule per favore? E' da regolamento... non dovrei nemmeno chiedertelo
Il problema è questo?
\[
\begin{cases}
x^\prime (t) = -\varepsilon\ x(t)\ \sin^2 t\\
x(0) = x_0
\end{cases} \qquad \text{, con } 0<\varepsilon \ll 1
\]
Se sì, la EDO è a variabili separabili, quindi si dovrebbe poter risolvere in maniera semplice.
Prova a fare qualche passaggio.
\[
\begin{cases}
x^\prime (t) = -\varepsilon\ x(t)\ \sin^2 t\\
x(0) = x_0
\end{cases} \qquad \text{, con } 0<\varepsilon \ll 1
\]
Se sì, la EDO è a variabili separabili, quindi si dovrebbe poter risolvere in maniera semplice.
Prova a fare qualche passaggio.
Si il problema è proprio questo!
Mi sto cimentando nelle equazioni differenziali da un paio di settimane quindi non sono ancora tanto pratica nella loro risoluzione per quanto possono sembrare facili. La presenza della "epsilon" mi fa un pò incasinare.
Se non chiedo troppo, potresti abbozzarmi una soluzione?
grazie
Mi sto cimentando nelle equazioni differenziali da un paio di settimane quindi non sono ancora tanto pratica nella loro risoluzione per quanto possono sembrare facili. La presenza della "epsilon" mi fa un pò incasinare.
Se non chiedo troppo, potresti abbozzarmi una soluzione?
grazie
Quella \(\varepsilon\) è come se fosse un numero fissato una volta per tutte... Quindi lo devi trattare come se fosse una qualsiasi costante numerica quando integri.
Per quanto riguarda l'abbozzo di soluzione, puoi ragionare così.
Cominciamo con un po' di studio qualitativo (cioè cerchiamo di ricavare le proprietà delle soluzioni a partire dalla sola equazione, senza risolverla esplicitamente).
Fatto questo studio qualitativo, andiamo a determinare le soluzioni del tuo problema.
Fissiamo ad esempio \(x_0>0\): in tal caso, la soluzione massimale \(x(t)\) che soddisfa \(x(0)=x_0\) è positiva in \(\mathbb{R}\), quindi si può dividere m.a.m. la EDO per \(x(t)\) ottenendo l'uguaglianza:
\[
\frac{x^\prime (t)}{x(t)} =-\varepsilon\ \sin^2 t\;
\]
che vale per ogni \(t\in \mathbb{R}\); ma tale uaglianza si conserva allora passando alle funzioni integrali, quindi abbiamo:
\[
\tag{1} \int_0^t \frac{x^\prime (\tau )}{x(\tau )}\ \text{d} \tau =-\varepsilon\ \int_0^t \sin^2 \tau\ \text{d} \tau\; .
\]
Il secondo membro della precedente si calcola elementarmente e si vede che:
\[
\int_0^t \sin^2 \tau\ \text{d} \tau = \frac{1}{2} (\tau -\sin \tau\ \cos \tau)\Big|_0^t = \frac{1}{2} (t -\sin t\ \cos t)\; ;
\]
per calcolare il primo membro notiamo che, essendo \(x(\tau)\) strettamente decrescente, è lecito fare il cambiamento di variabili \(\theta =x(\tau)\) e scrivere:
\[
\int_0^t \frac{x^\prime (\tau )}{x(\tau )}\ \text{d} \tau \stackrel{\theta =x(\tau)}{=} \int_{x_0}^{x(t)} \frac{1}{\theta}\ \text{d} \theta = \log |\theta | \Big|_{x_0}^{x(t)} = \log \frac{x(t)}{x_0}
\]
ove il valore assoluto nel logaritmo è stato eliminato poiché gli argomenti sono entrambi positivi.
Ma allora la (1) si riscrive:
\[
\log \frac{x(t)}{x_0} = - \frac{\varepsilon}{2} (t -\sin t\ \cos t)
\]
e risolvendo rispetto a \(x(t)\) troviamo:
\[
\tag{2} x(t) = x_0\ \exp \left( -\frac{\varepsilon}{2}\ (t-\sin t\cos t)\right)
\]
che è la nostra soluzione massimale (qui trovi un grafico della soluzione con \(x_0=1\) e \(\varepsilon =1/2\)).
Se invece \(x_0<0\), ripercorrendo gli stessi passaggi troviamo di nuovo la (2) (qui trovi il grafico della soluzione con \(x_0=-1/2\) ed \(\varepsilon =1/3\)).
Inoltre, la (2) restituisce proprio la soluzione stazionaria \(\bar{x}(t)=0\) quando si sceglie \(x_0=0\).
Quindi la (2) individua tutte le soluzioni del problema di Cauchy assegnato al variare della condizione iniziale \(x_0\), cioè puoi dire che per ogni \(x_0 \in \mathbb{R}\) ed \(0<\varepsilon \ll 1\) l'unica soluzione di:
\[
\begin{cases} x^\prime (t) = -\varepsilon\ x(t)\ \sin^2 t\\ x(0) = x_0 \end{cases} \qquad \text{, con } 0<\varepsilon \ll 1
\]
è data da:
\[
x(t) = x_0\ \exp \left( -\frac{\varepsilon}{2}\ (t-\sin t\cos t)\right)\; .
\]
Per quanto riguarda l'abbozzo di soluzione, puoi ragionare così.
Cominciamo con un po' di studio qualitativo (cioè cerchiamo di ricavare le proprietà delle soluzioni a partire dalla sola equazione, senza risolverla esplicitamente).
Fatto questo studio qualitativo, andiamo a determinare le soluzioni del tuo problema.
Fissiamo ad esempio \(x_0>0\): in tal caso, la soluzione massimale \(x(t)\) che soddisfa \(x(0)=x_0\) è positiva in \(\mathbb{R}\), quindi si può dividere m.a.m. la EDO per \(x(t)\) ottenendo l'uguaglianza:
\[
\frac{x^\prime (t)}{x(t)} =-\varepsilon\ \sin^2 t\;
\]
che vale per ogni \(t\in \mathbb{R}\); ma tale uaglianza si conserva allora passando alle funzioni integrali, quindi abbiamo:
\[
\tag{1} \int_0^t \frac{x^\prime (\tau )}{x(\tau )}\ \text{d} \tau =-\varepsilon\ \int_0^t \sin^2 \tau\ \text{d} \tau\; .
\]
Il secondo membro della precedente si calcola elementarmente e si vede che:
\[
\int_0^t \sin^2 \tau\ \text{d} \tau = \frac{1}{2} (\tau -\sin \tau\ \cos \tau)\Big|_0^t = \frac{1}{2} (t -\sin t\ \cos t)\; ;
\]
per calcolare il primo membro notiamo che, essendo \(x(\tau)\) strettamente decrescente, è lecito fare il cambiamento di variabili \(\theta =x(\tau)\) e scrivere:
\[
\int_0^t \frac{x^\prime (\tau )}{x(\tau )}\ \text{d} \tau \stackrel{\theta =x(\tau)}{=} \int_{x_0}^{x(t)} \frac{1}{\theta}\ \text{d} \theta = \log |\theta | \Big|_{x_0}^{x(t)} = \log \frac{x(t)}{x_0}
\]
ove il valore assoluto nel logaritmo è stato eliminato poiché gli argomenti sono entrambi positivi.
Ma allora la (1) si riscrive:
\[
\log \frac{x(t)}{x_0} = - \frac{\varepsilon}{2} (t -\sin t\ \cos t)
\]
e risolvendo rispetto a \(x(t)\) troviamo:
\[
\tag{2} x(t) = x_0\ \exp \left( -\frac{\varepsilon}{2}\ (t-\sin t\cos t)\right)
\]
che è la nostra soluzione massimale (qui trovi un grafico della soluzione con \(x_0=1\) e \(\varepsilon =1/2\)).
Se invece \(x_0<0\), ripercorrendo gli stessi passaggi troviamo di nuovo la (2) (qui trovi il grafico della soluzione con \(x_0=-1/2\) ed \(\varepsilon =1/3\)).
Inoltre, la (2) restituisce proprio la soluzione stazionaria \(\bar{x}(t)=0\) quando si sceglie \(x_0=0\).
Quindi la (2) individua tutte le soluzioni del problema di Cauchy assegnato al variare della condizione iniziale \(x_0\), cioè puoi dire che per ogni \(x_0 \in \mathbb{R}\) ed \(0<\varepsilon \ll 1\) l'unica soluzione di:
\[
\begin{cases} x^\prime (t) = -\varepsilon\ x(t)\ \sin^2 t\\ x(0) = x_0 \end{cases} \qquad \text{, con } 0<\varepsilon \ll 1
\]
è data da:
\[
x(t) = x_0\ \exp \left( -\frac{\varepsilon}{2}\ (t-\sin t\cos t)\right)\; .
\]
perfetto! Mi è tutto chiarissimo. La soluzione è quella a cui io ero arrivata (avevo considerato la EDO senza la costante "epsilon") e ora mi è molto più chiaro il perchè della sua unicità al variare di $x$ in $R$.
Stamattina mi sto cimentando in un altro "tipo" di equazioni differenziali, tipo questa:
$\frac{dx}{dt} = \epsilon(a + \sin(t) - x)$ con $0<\epsilon<1$ e $a \in R$
dovrei mostrare che esiste una soluzione periodica e a me piacerebbe avere un' espressione per questa soluzione.
Come procedo?
Mi rendo conto che forse sto pretendendo troppo, ma la prossima settimana inizio un nuovo corso all'università e vorrei avere chiare queste cose.
Ti ringrazio nuovamente
Stamattina mi sto cimentando in un altro "tipo" di equazioni differenziali, tipo questa:
$\frac{dx}{dt} = \epsilon(a + \sin(t) - x)$ con $0<\epsilon<1$ e $a \in R$
dovrei mostrare che esiste una soluzione periodica e a me piacerebbe avere un' espressione per questa soluzione.
Come procedo?
Mi rendo conto che forse sto pretendendo troppo, ma la prossima settimana inizio un nuovo corso all'università e vorrei avere chiare queste cose.
Ti ringrazio nuovamente
La EDO è lineare del primo ordine completa, quindi si risolve o con la formuletta apposita oppure trovando un fattore integrante.
Sono tutte cose che sono spiegate su un qualsiasi testo serio di Analisi II. Prova a consultare il tuo libro.
Sono tutte cose che sono spiegate su un qualsiasi testo serio di Analisi II. Prova a consultare il tuo libro.
e devo risolvere al variare di $a$ in $R$? Quindi distinguendo i vari casi?
Non ci sono casi da distinguere.
La \(a\) va trattata come se fosse un numero fissato una volta per tutte (come prima si è fatto con \(\varepsilon\)).
La \(a\) va trattata come se fosse un numero fissato una volta per tutte (come prima si è fatto con \(\varepsilon\)).
perfetto! E come faccio a provare che esiste una soluzione periodica?
Calcolando esplicitamente le soluzioni e vedendo se ce n'è qualcuna periodica.
ok mi sono ufficialmente incasinata con i calcoli!
Non riesco a trovare la soluzione periodica e neanche a risolvere la EDO in un modo che mi convince.
Potresti darmi una mano?
Mi sa che le equazioni differenziali non fanno per me..
Non riesco a trovare la soluzione periodica e neanche a risolvere la EDO in un modo che mi convince.
Potresti darmi una mano?
Mi sa che le equazioni differenziali non fanno per me..
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