Equazione differenziale con parametro

[pasquale_piccolo]

Salve a tutti, vorrei chiedervi un aiutino per questa equazione differenziale : $ y''+2y'+alpha y=0 $
con : $ y(0)=0 $ e $ y(1)=0 $
quindi : $ { ( y''+2y'+alphay=0 ),( y(0)=0 ),( y(1)=0 ):} $
per risolverla trovo l'equazione soluzione : $ y(x)=c1e^(-1+sqrt(1-alpha )) +c2e^(-1-sqrt(1-alpha )) $
poi mi chiede di determinare i valori di alfa per cui otteniamo soluzioni diverse da zero,ed è qui che non so come procedere, come potrei fare?
grazie!

[Nietzsche610]

Ciao! Le condizioni iniziali impongono che:

$\{(c_1+c_2=0),(c_1e^(1+sqrt(1-\alpha))+c_2e^(1-sqrt(1-\alpha))=0):}$

$\{(c_2=-c_1),(c_1[e^(1+sqrt(1-\alpha))-e^(1-sqrt(1-\alpha))]=0):}$.

Se il termine $[e^(1+sqrt(1-\alpha))-e^(1-sqrt(1-\alpha))]$ fosse diverso da $0$, avresti identicamente $c_1=c_2=0$.
Se invece fosse uguale a $0$, potresti assegnare arbitrariamente uno dei due coefficienti, diciamo $c_1$ e ricavare univocamente l'altro, i.e. $\bbc=(\alpha,-\alpha)$, esisterebbero cioè $\infty^1$ soluzioni.
Quindi la richiesta si traduce in $[e^(1+sqrt(1-\alpha))-e^(1-sqrt(1-\alpha))]=0 -> \alpha =1$.
Spero di esserti stato d'aiuto!

[pasquale_piccolo]

capito
grazie mille!!!

l'unica cosa che non ho capito è perchè distingui quel termine uguale o diverso da zero

[Camillo]

Se $ a =1 $ mi sembra venga ancora la soluzione identicamente nulla.
Considererei piuttosto il caso $ a > 1 $ il che vuol dire radici complesse coniugate per il polinomio caratteristico e di conseguenza soluzione della equazione differenziale data da combinazione lineare di sin e cos .
Imponendo le condizioni iniziali al problema di Cauchy si arriva (SEO ) alle $oo $ soluzioni del tipo $y(x)= B e^(-x)sin (k pix )$ essendo $sqrt(a -1) = k pi $ da cui $ a = k^2(pi)^2+1 $ e $ k in ZZ $.

EDIT : nella soluzione mancava il fattore $e ^(-x) $

[pasquale_piccolo]

si non ci avevo proprio pensato....solo un dubbio perchè è : $ sqrt(a-1) $ non dovrebbe essere : $ sqrt(1-a) $ ???

[Camillo]

Se $a > 1 $ allora $sqrt (1-a) = i*sqrt(a-1) $ .

P.S. nella formula della soluzione generale della edq diff hai dimentcato la variabile indipendente , cioè $ x $

[pasquale_piccolo]

giusto hai ragione, ok tutto chiaro.

Grazie ancora

[Nietzsche610]

Si, Camillo hai pienamente ragione, avevo considerato il problema dell'annullarsi di $c_1,c_2$ e avevo perso di vista il fatto che si dovesse azzerare $y$. Metto il mio post sopra in spoiler per non creare confusione.