Equazione differenziale con metodo di somiglianza
Salve a tutti, sto riscontrando un piccolo problema con un esercizio d'esame (analisi 2) su un'equazione differenziale di quinto ordine da risolvere con metodo di somiglianza. Il problema in sé non sembra molto difficile, ma mi blocco non appena vado a cercare la prima soluzione particolare.
L'equazione da risolvere è $ y^((5)) - y' = te^(-t) + t $
Ovviamente come prima cosa scrivo l'omogenea associata: $ y^((5)) - y' = 0 $
Poi risolvo il polinomio caratteristico $ P(λ) = λ^5 - λ $ dove trovo $ λ_1 = 0 $ con molteplicità 1 $ (m=1) $ e $ λ_2 = 1 $ con molteplicità 4 $ (m=4) $
Dopodiché scrivo la soluzione dell'omogenea, ovvero $ y_o(t) = c_1 + c_2e^t + c_3te^t + c_4t^2e^t + c_5t^3e^t $
A questo punto bisogna trovare la soluzione particolare: divido l'equazione differenziale iniziale in
$ I) y^((5)) - y' = te^-t $
$ II) y^((5)) - y' = t $
Parto quindi con lo studio della $ I $, che ha una forma del tipo $ Q(t)e^(λt) $ con $Q(t)=t$ polinomio di grado 1 e $λ=-1$, quindi non coincidente né con $λ_1$ né con $λ_2$ (entrambi calcolati prima dal polinomio caratteristico associato). Sapendo questo, scrivo la soluzione particolare (si parla solo della $I$, ricordo) come: $ y_(p,I)(t) = e^-t(At+B) $
Trovo quindi la derivata prima e la derivata quinta:
$ y'_(p,I)(t) = A(e^-t - te^-t) - Be^-t $
$ y'''''_(p,I) = A(5e^-t - te^-t) - Be^t $
Infine, sostituendo all'equazione $I$ e dividendo entrambi i membri per $e^-t$ trovo:
$ 5A - At - B - A + At + B = t $
E mettendo a sistema:
\( \begin{cases} 5A - B + A + B = 0 \\ -A + A = 1 \end{cases} \)
Ed è chiaro ci sia un errore dato che nella seconda equazione del sistema viene $0=1$.
Ora, non avendo ancora la manualità giusta con il metodo di somiglianza e le equazioni differenziali di ordine superiore al primo, sto avendo tantissime difficoltà nel trovare l'errore.
Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Ringrazio in anticipo
L'equazione da risolvere è $ y^((5)) - y' = te^(-t) + t $
Ovviamente come prima cosa scrivo l'omogenea associata: $ y^((5)) - y' = 0 $
Poi risolvo il polinomio caratteristico $ P(λ) = λ^5 - λ $ dove trovo $ λ_1 = 0 $ con molteplicità 1 $ (m=1) $ e $ λ_2 = 1 $ con molteplicità 4 $ (m=4) $
Dopodiché scrivo la soluzione dell'omogenea, ovvero $ y_o(t) = c_1 + c_2e^t + c_3te^t + c_4t^2e^t + c_5t^3e^t $
A questo punto bisogna trovare la soluzione particolare: divido l'equazione differenziale iniziale in
$ I) y^((5)) - y' = te^-t $
$ II) y^((5)) - y' = t $
Parto quindi con lo studio della $ I $, che ha una forma del tipo $ Q(t)e^(λt) $ con $Q(t)=t$ polinomio di grado 1 e $λ=-1$, quindi non coincidente né con $λ_1$ né con $λ_2$ (entrambi calcolati prima dal polinomio caratteristico associato). Sapendo questo, scrivo la soluzione particolare (si parla solo della $I$, ricordo) come: $ y_(p,I)(t) = e^-t(At+B) $
Trovo quindi la derivata prima e la derivata quinta:
$ y'_(p,I)(t) = A(e^-t - te^-t) - Be^-t $
$ y'''''_(p,I) = A(5e^-t - te^-t) - Be^t $
Infine, sostituendo all'equazione $I$ e dividendo entrambi i membri per $e^-t$ trovo:
$ 5A - At - B - A + At + B = t $
E mettendo a sistema:
\( \begin{cases} 5A - B + A + B = 0 \\ -A + A = 1 \end{cases} \)
Ed è chiaro ci sia un errore dato che nella seconda equazione del sistema viene $0=1$.
Ora, non avendo ancora la manualità giusta con il metodo di somiglianza e le equazioni differenziali di ordine superiore al primo, sto avendo tantissime difficoltà nel trovare l'errore.
Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Ringrazio in anticipo
Risposte
Salve a tutti, anche se non ha ancora risposto nessuno magari qualcuno ha il mio stesso problema, l'errore è stupididssimo e banalissimo (quasi me ne vergogno). Semplicemente a inizio esercizio dovevo trovare le radici di $ λ(λ^4 - 1) $. Ho trovato ovviamente $λ_1=0$, ma ho scritto che $λ_2=1$ con molteplicità $m=4$.. Beh, non so perché l'ho scritto, ma è chiaro che $λ^4 -1$ ha come radici sia $1$ che $-1$, entrambe con molteplicità $m=2$. Errore molto stupido 
Continuerò con la risoluzione dell'esercizio stasera
Continuerò con la risoluzione dell'esercizio stasera
Ciao Cianf !
Scusa se rispondo solo ora, avevo letto la tua domanda qualche ora fa, ma non ho avuto modo di rispondere prima.
Prendi con le pinze ciò che dico, in quanto non tratto una differenziale da mesi e quindi ti chiedo scusa se dico una castroneria e ti confondo le idee (non è ciò che voglio
).
Per me le soluzioni del polinomio caratteristico sono $lambda=0, lambda=+-1$ e $lambda=+-i$ fattorizzandolo come $lambda(lambda+1)(lambda-1)(lambda^2+1)$. Ho detto una fesseria ?
Ti chiedo scusa se ho detto qualche stupidaggine.
Saluti
BayMax
Scusa se rispondo solo ora, avevo letto la tua domanda qualche ora fa, ma non ho avuto modo di rispondere prima.
Prendi con le pinze ciò che dico, in quanto non tratto una differenziale da mesi e quindi ti chiedo scusa se dico una castroneria e ti confondo le idee (non è ciò che voglio
).Per me le soluzioni del polinomio caratteristico sono $lambda=0, lambda=+-1$ e $lambda=+-i$ fattorizzandolo come $lambda(lambda+1)(lambda-1)(lambda^2+1)$. Ho detto una fesseria ?
Ti chiedo scusa se ho detto qualche stupidaggine.
Saluti
BayMax
Ciao Cianf,
In base a quanto ha scritto BayMax e di cui anche tu poi ti sei reso conto, la soluzione dell'equazione omogenea associata $y_o(t) $ è errata, infatti è la seguente:
$ y_o(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + c_3 sin t + c_4 cos t + c_5 $
La soluzione particolare $y_p(t) $ va cercata nella forma $ e^{- t} (At^2 + Bt + C) $
In base a quanto ha scritto BayMax e di cui anche tu poi ti sei reso conto, la soluzione dell'equazione omogenea associata $y_o(t) $ è errata, infatti è la seguente:
$ y_o(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + c_3 sin t + c_4 cos t + c_5 $
La soluzione particolare $y_p(t) $ va cercata nella forma $ e^{- t} (At^2 + Bt + C) $
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