Equazione differenziale con limite come condizione
Stavo svolgendo degli esericizi riguardo alle equazioni differenziali, per l'esame di Analisi 2, ed mi sono imbattuto in questo esercizio
${(y''(t) - 4y(t)=exp(-2t)), (y(0) =0), ( \lim_{t \to \infty}y(t) = 0):}$
Provo a risolverlo , e riesco ad arrivare a questo punto
$ y = c1*exp(2t) + c2*exp(-2t) -1/4 * exp(-2t)$
A questo punto dovrei trovare c1 e c2, ma non so come fare con il limite come condizione, qualcuno di voi sa come posso procedere?
${(y''(t) - 4y(t)=exp(-2t)), (y(0) =0), ( \lim_{t \to \infty}y(t) = 0):}$
Provo a risolverlo , e riesco ad arrivare a questo punto
$ y = c1*exp(2t) + c2*exp(-2t) -1/4 * exp(-2t)$
A questo punto dovrei trovare c1 e c2, ma non so come fare con il limite come condizione, qualcuno di voi sa come posso procedere?
Risposte
La soluzione non è corretta, manca una $t$ al terzo termine; dovrebbe essere $y(t)=c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t} -\frac{1}{4} te^{-2t}$.
Comunque, per la domanda: le costanti $c_1$ e $c_2$ sono arbitrarie, vedi una scelta di $c_1$ e $c_2$ adatta che soddisfi
$$\lim_{t \to \infty} y(t)= \lim_{t \to \infty} \left(c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t} -\frac{1}{4} te^{-2t}\right)=0$$
?
Comunque, per la domanda: le costanti $c_1$ e $c_2$ sono arbitrarie, vedi una scelta di $c_1$ e $c_2$ adatta che soddisfi
$$\lim_{t \to \infty} y(t)= \lim_{t \to \infty} \left(c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t} -\frac{1}{4} te^{-2t}\right)=0$$
?
"Mephlip":
La soluzione non è corretta, manca una $t$ al terzo termine; dovrebbe essere $y(t)=c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t} -\frac{1}{4} te^{-2t}$.
Comunque per la domanda: le costanti $c_1$ e $c_2$ sono arbitrarie, vedi una scelta di $c_1$ e $c_2$ adatta che soddisfi
$$\lim_{t \to \infty} y(t)= \lim_{t \to \infty} \left(c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t} -\frac{1}{4} te^{-2t}\right)=0$$
?
Me lo ero perso per strada, grazie mille, comunque c1 e c2 sono sempre arbitrarie? Allora perchè le andiamo a trovare, quando vogliamo la soluzione della equazione?
Prego! Le puoi determinare se hai informazioni fino alla derivata dell'ordine precedente all'ordine dell'equazione differenziale nel problema di Cauchy (hai un problema di Cauchy, non solamente un'equazione differenziale), qui manca quanto vale $y'(0)$; in questo caso devi determinare dei valori di $c_1$ e $c_2$ tali che quel limite è nullo.
"Mephlip":
Prego! Le puoi determinare se hai informazioni fino alla derivata dell'ordine precedente all'ordine dell'equazione differenziale nel problema di Cauchy (hai un problema di Cauchy, non solamente un'equazione differenziale), qui manca quanto vale $y'(0)$; in questo caso devi determinare dei valori di $c_1$ e $c_2$ tali che quel limite è nullo.
Ok perfetto, quindi in questo caso avendo la condizione y(0)=0 posso dire che c1=-c2 e di conseguenza andarlo a sostiuire nella seconda condizione e a trovare il limite che venga annullato per c2, giusto?
Sì, quindi quale $c_1$ (o $c_2$, dipende quale sostituisci) funziona?
Dunque andando a sostiuire nel limite e facendo qualche calcolo
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t)+1)/exp(2t)) - t/(4exp(2t))$
A questo punto posso dividere il limite in due
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t)+1)/exp(2t))$ - $\lim_{t \to \+infty}t/(4exp(2t))$
Se vado ad applicare de L'Hospital sul secondo membro e ci applico il limite noto che tende a 0, il problema resta invece al primo termine, in quanto al numeratore il termine che "pesa" di più è -exp(4t) mentre al denominatore è exp(2t), quindi
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t))/exp(2t))$
E da qui posso poi semplificare
$\lim_{t \to \+infty}c_2(-exp(2t))$
A questo punto l'unico c2 per cui mi si annullerebbe il limite penso sia 0, però poi mi si generebbe una forma indeterminata, quindi non so, chiedo ancora un volta il tuo aiuto
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t)+1)/exp(2t)) - t/(4exp(2t))$
A questo punto posso dividere il limite in due
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t)+1)/exp(2t))$ - $\lim_{t \to \+infty}t/(4exp(2t))$
Se vado ad applicare de L'Hospital sul secondo membro e ci applico il limite noto che tende a 0, il problema resta invece al primo termine, in quanto al numeratore il termine che "pesa" di più è -exp(4t) mentre al denominatore è exp(2t), quindi
$\lim_{t \to \+infty}c_2((-exp(4t))/exp(2t))$
E da qui posso poi semplificare
$\lim_{t \to \+infty}c_2(-exp(2t))$
A questo punto l'unico c2 per cui mi si annullerebbe il limite penso sia 0, però poi mi si generebbe una forma indeterminata, quindi non so, chiedo ancora un volta il tuo aiuto
In realtà è molto più semplice: basta notare che $c_2 e^{-2t} \to 0$ per ogni $c_2 \in \mathbb{R}$, che $-\frac{1}{4}te^{-2t} \to 0$ e quindi l'unico termine problematico è $-c_2 e^{2t}$.
Dunque, se $c_2=0$, si ha che il limite è nullo: non c'è nessuna forma indeterminata del tipo $0 \cdot \infty$, perché le forme indeterminate si generano quando due quantità tendono una a $0$ e l'altra ad $\infty$ e qui $c_2$ non tende da nessuna parte, è proprio nulla.
(Occhio a questo errore sui limiti, ti fa bocciare retroattivamente anche ad analisi 1
)
Concludendo quindi se $c_1=-c_2=0$ allora
$$\lim_{t \to \infty} y(t)=0$$
Dunque, se $c_2=0$, si ha che il limite è nullo: non c'è nessuna forma indeterminata del tipo $0 \cdot \infty$, perché le forme indeterminate si generano quando due quantità tendono una a $0$ e l'altra ad $\infty$ e qui $c_2$ non tende da nessuna parte, è proprio nulla.
(Occhio a questo errore sui limiti, ti fa bocciare retroattivamente anche ad analisi 1
)Concludendo quindi se $c_1=-c_2=0$ allora
$$\lim_{t \to \infty} y(t)=0$$
Giusto, questa cosa era andata a finire nel dimenticatoio, ti ringrazio ancora per il tuo tempo e per aver chiarito i miei dubbi
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