Equazione differenziale con limite associato
buongiorno sono nuovo del forum , stò studiando per l'esame di Analisi I presso la facoltà di ing. di genova. stò trovando particolari difficoltà in una tipologia di domanda relativa alle equazioni differenziali. Si chiede infatti , dato un opportuno problema di cauchy, di studiarne il limite. Cerco di spiegarmi meglio con un esempio
\[y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\] (1.0)
\[y(xo)= (yo)\] (1.1)
dato il seguente problema , fissati xo e yo, bisogna calcolare il limite
\[\lim_{x \to \infty}y(x)\]
il problema è proprio concettuale , non riesco a capire come si deve procedere, la mia idea era quella di ricavarmi la \[y(x)\] nella (1.0) e sostituirla nel limite a quel punto però ho a che fare con un limite in cui compare il termine \[y'(x)\] e non so proprio come andare avanti. Mi potete aiutare?
\[y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\] (1.0)
\[y(xo)= (yo)\] (1.1)
dato il seguente problema , fissati xo e yo, bisogna calcolare il limite
\[\lim_{x \to \infty}y(x)\]
il problema è proprio concettuale , non riesco a capire come si deve procedere, la mia idea era quella di ricavarmi la \[y(x)\] nella (1.0) e sostituirla nel limite a quel punto però ho a che fare con un limite in cui compare il termine \[y'(x)\] e non so proprio come andare avanti. Mi potete aiutare?
Risposte
In generale non si può dire nulla sul comportamento di \(y(x)\), nemmeno che la soluzione esista intorno a \(\infty\)... Quindi, nel caso presentato il problema è mal posto.
Prova a portare un esempio concreto.
Tuttavia, qualcosa di carattere generale si può sempre dire.
Come ben dovresti sapere, per risolvere il PdC assegnato basta usare qualche trucchetto e l'integrazione definita (almeno intorno a \(x_0\)).
Invero, posto:
\[
A(x):= \int_{x_0}^x a(t)\ \text{d} t
\]
si ha \(A^\prime (x)=a(x)\) e dunque, moltiplicando membro a membro per \(e^{-A(x)}>0\), la EDO associata al problema può essere riscritta come:
\[
e^{-A(x)}\ y^\prime (x) - A^\prime (x)\ e^{-A(x)}\ y(x) = b(x)\ e^{-A(x)} \qquad \Leftrightarrow \qquad \left( e^{-A(x)}\ y(x)\right)^\prime = b(x)\ e^{-A(x)}
\]
dalla quale, integrando membro a membro con punto iniziale \(x_0\), si trae la notissima formula risolutiva:
\[
e^{-A(x)} y(x) - y(x_0) = \int_{x_0}^x \left( e^{-A(t)}\ y(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t \qquad \Leftrightarrow \qquad y(x)=y_0\ e^{A(x)} + e^{A(x)}\ \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t\; .
\]
Da questa formula, caso per caso, puoi determinare il comportamento asintotico della tua soluzione (ammesso e non concesso che tale formula abbia significato intorno a \(\infty\)): infatti ti basta studiare il comportamento dei due addendi, \(y_0\ e^{A(x)}\) e \(e^{A(x)}\ \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t\), che compongono la soluzione \(y(x)\).
Però sono possibili altre strade: ad esempio il teorema dell'asintoto.
Prova a portare un esempio concreto.
Tuttavia, qualcosa di carattere generale si può sempre dire.
Come ben dovresti sapere, per risolvere il PdC assegnato basta usare qualche trucchetto e l'integrazione definita (almeno intorno a \(x_0\)).
Invero, posto:
\[
A(x):= \int_{x_0}^x a(t)\ \text{d} t
\]
si ha \(A^\prime (x)=a(x)\) e dunque, moltiplicando membro a membro per \(e^{-A(x)}>0\), la EDO associata al problema può essere riscritta come:
\[
e^{-A(x)}\ y^\prime (x) - A^\prime (x)\ e^{-A(x)}\ y(x) = b(x)\ e^{-A(x)} \qquad \Leftrightarrow \qquad \left( e^{-A(x)}\ y(x)\right)^\prime = b(x)\ e^{-A(x)}
\]
dalla quale, integrando membro a membro con punto iniziale \(x_0\), si trae la notissima formula risolutiva:
\[
e^{-A(x)} y(x) - y(x_0) = \int_{x_0}^x \left( e^{-A(t)}\ y(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t \qquad \Leftrightarrow \qquad y(x)=y_0\ e^{A(x)} + e^{A(x)}\ \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t\; .
\]
Da questa formula, caso per caso, puoi determinare il comportamento asintotico della tua soluzione (ammesso e non concesso che tale formula abbia significato intorno a \(\infty\)): infatti ti basta studiare il comportamento dei due addendi, \(y_0\ e^{A(x)}\) e \(e^{A(x)}\ \int_{x_0}^x b(t)\ e^{-A(t)}\ \text{d} t\), che compongono la soluzione \(y(x)\).
Però sono possibili altre strade: ad esempio il teorema dell'asintoto.
ok. Ecco l'esercizio in questione.
Dato il problema differenziale
\[y'(x)=xe^{x^2-y(x)}\]
\[y(0)=0\]
calcolare il seguente limite:
\[lim_{x \to o+}\frac{y(x)}{(e^x-1)^2}\]
Trovare dunque la soluzione e calcolare il seguente limite
\[lim_{x \to +\inf}\frac{y(x)}{x^2}\]
Dato il problema differenziale
\[y'(x)=xe^{x^2-y(x)}\]
\[y(0)=0\]
calcolare il seguente limite:
\[lim_{x \to o+}\frac{y(x)}{(e^x-1)^2}\]
Trovare dunque la soluzione e calcolare il seguente limite
\[lim_{x \to +\inf}\frac{y(x)}{x^2}\]
Bene... Ti rendi conto che l'equazione non è nient'affatto lineare e che ciò ci ha fatto solo perdere tempo?
Anche per questo, nelle direttive presenti qui è ben specificato di controllare bene ciò che si posta, usando degli esempi concreti.
Ad ogni modo, per calcolare il primo limite è sufficiente applicare il teorema di de l'Hopital (dato che esso si presenta nella forma indeterminata \(0/0\)).
Per il calcolo della soluzione, la EDO è a variabili separabili, quindi dovresti cavartela con un paio di integrali definiti.
Per calcolare l'ultimo limite, una volta che hai scritto esplicitamente la soluzione è semplicissimo.
Anche per questo, nelle direttive presenti qui è ben specificato di controllare bene ciò che si posta, usando degli esempi concreti.
Ad ogni modo, per calcolare il primo limite è sufficiente applicare il teorema di de l'Hopital (dato che esso si presenta nella forma indeterminata \(0/0\)).
Per il calcolo della soluzione, la EDO è a variabili separabili, quindi dovresti cavartela con un paio di integrali definiti.
Per calcolare l'ultimo limite, una volta che hai scritto esplicitamente la soluzione è semplicissimo.
si ok grazie,Il problema comunque era anche per le lineari in quanto in molti esercizi compaiono queste e non quelle a variabili separabili. Mi dispiace se mi sono spiegato male , in futuro cercherò di essere più preciso.
Grazie mille e scusa il disturbo.
Grazie mille e scusa il disturbo.
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