Equazione differenziale, con dominio non semplicemente connesso
salve, ho la seguente eq. differenziale
$ 1/(2sqrtx(y-sqrtx))dx-1/(y-sqrtx)dy $
risulta essere in forma chiusa, ma non semplicemente connessa. QUINDI NON è ESATTA
poiché il dominio risulta essere
$x>=0 $ e $y!=sqrtx$
facendo il disegno si vede facilmente che la curva $y!=sqrtx$ "spezza" il dominio, quindi non risulta semplicemente connesso, ma connesso.
per "renderla esatta" il mio prof vuole che eseguiamo un integrale curvilineo, su un percorso chiuso, e vedere se il lavoro è nullo.
solitamente riesco a parametrizzare l'eq. diff in una circonferenza o ellisse, ma in questo caso, non vedo circonferenze, o altre cose parametrizzabili. come procedo? grazie in anticipo per la risposta.
$ 1/(2sqrtx(y-sqrtx))dx-1/(y-sqrtx)dy $
risulta essere in forma chiusa, ma non semplicemente connessa. QUINDI NON è ESATTA
poiché il dominio risulta essere
$x>=0 $ e $y!=sqrtx$
facendo il disegno si vede facilmente che la curva $y!=sqrtx$ "spezza" il dominio, quindi non risulta semplicemente connesso, ma connesso.
per "renderla esatta" il mio prof vuole che eseguiamo un integrale curvilineo, su un percorso chiuso, e vedere se il lavoro è nullo.
solitamente riesco a parametrizzare l'eq. diff in una circonferenza o ellisse, ma in questo caso, non vedo circonferenze, o altre cose parametrizzabili. come procedo? grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Dunque, quella forma è chiusa, ma perché non sarebbe esatta?
Considera un cammino chiuso nel dominio. Il dominio può essere omotopo a un punto? Se il cammino è chiuso, deve stare tutta o a "destra" o a "sinistra" della curva $y=\sqrt(x)$, e queste due componenti sono entrambe semplicemente connesse. Significa che qualunque cammino continuo chiuso tu scelga sul dominio, esso si trova in una delle due componenti, e la forma è esatta.
Considera un cammino chiuso nel dominio. Il dominio può essere omotopo a un punto? Se il cammino è chiuso, deve stare tutta o a "destra" o a "sinistra" della curva $y=\sqrt(x)$, e queste due componenti sono entrambe semplicemente connesse. Significa che qualunque cammino continuo chiuso tu scelga sul dominio, esso si trova in una delle due componenti, e la forma è esatta.
grazie per la risposta Frink.
mi risulta difficile considerare un percorso chiuso nel dominio, algebricamente come posso considerarlo? (è possibile?)
mi risulta difficile considerare un percorso chiuso nel dominio, algebricamente come posso considerarlo? (è possibile?)
Che ne dici di una circonferenza centrata in $(-2,2)$ di raggio $1$?
Sebbene sia corretto, non credo che sia il procedimento migliore che tu possa usare. Non penso che l'integrale risultante sia molto semplice, per cui ti consiglio di valutare bene il fatto che il dominio è semplicemente connesso.
Inoltre, una forma è certamente esatta se possiede una primitiva: in questo caso è molto facile verificarlo, direi...
Sebbene sia corretto, non credo che sia il procedimento migliore che tu possa usare. Non penso che l'integrale risultante sia molto semplice, per cui ti consiglio di valutare bene il fatto che il dominio è semplicemente connesso.
Inoltre, una forma è certamente esatta se possiede una primitiva: in questo caso è molto facile verificarlo, direi...
grazie per la risposta. quindi vado direttamente a vedere se possiede una primitiva. nel caso la primitiva fosse assente, posso concludere che sicuramente la forma non è esatta, giusto?
come mi comporto invece in questo caso ? si vede "un buco" in $ (4,4)$
$y/(xy-4)dx-(4-x-xy)/(xy-4)dy$
grazie ancora
come mi comporto invece in questo caso ? si vede "un buco" in $ (4,4)$
$y/(xy-4)dx-(4-x-xy)/(xy-4)dy$
grazie ancora
Il buco non è in $4,4$, guarda meglio. Le singolarità formano due rami di iperbole.
ebbene ho preso un bell'abbaglio 
GRAZIE
sta di fatto che comunque il dominio ha delle discontinuità nei due rami d'iperbole. vale lo stesso discorso che ha fatto Frink anche in questo caso?
GRAZIEsta di fatto che comunque il dominio ha delle discontinuità nei due rami d'iperbole. vale lo stesso discorso che ha fatto Frink anche in questo caso?
allora sono andato avanti nel calcolare la primitiva dell'Equazione differenziale (la seconda che ho postato)
la primitiva risulta essere
$K=Log(|xy - 4|) + y $
verifica
$d/dx log(|xy - 4|) + y = y/(xy - 4) $
$ d/dy log(|xy - 4|) + y = -(4 - x - xy)/(xy - 4) $
che corrisponderebbe poi all'equazione di partenza
$ ω = y/(xy - 4) dx - (4 - x - xy)/(xy - 4) dy $
possiamo così affermare che la forma differenziale è esatta e che $∫(K) = log(|xy - 4|) + y $
è la sua primitiva?
la primitiva risulta essere
$K=Log(|xy - 4|) + y $
verifica
$d/dx log(|xy - 4|) + y = y/(xy - 4) $
$ d/dy log(|xy - 4|) + y = -(4 - x - xy)/(xy - 4) $
che corrisponderebbe poi all'equazione di partenza
$ ω = y/(xy - 4) dx - (4 - x - xy)/(xy - 4) dy $
possiamo così affermare che la forma differenziale è esatta e che $∫(K) = log(|xy - 4|) + y $
è la sua primitiva?
Metti bene i valori assoluti, il logaritmo non è definito se l'argomento non è strettamente positivo
GRazie, per il resto può andare?
"domax93":
salve, ho la seguente eq. differenziale
$ 1/(2sqrtx(y-sqrtx))dx-1/(y-sqrtx)dy $
Questa è una forma differenziale lineare, non un'equazione differenziale.
"domax93":
[...] vale lo stesso discorso che ha fatto Frink anche in questo caso?
Certo: come mai?
Riesci a trovare un percorso chiuso non "retraibile" a un punto? Il dominio è semplicemente connesso anche in questo caso...
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