Equazione Differenziale con dimostrazione sull' esistenza delle soluzioni
Durante l'esame di Analisi 2 di qualche giorno fa (che purtoppo non ho superato 
) mi sono imbattuto in questo esercizio dalla soluzione a me ignota...diceva:
data l'equazione differenziale
$ y'=e^xcos(y+1) $
dimostrare che:
- esistono infinite soluzioni costanti
- esistono infinite soluzioni non costanti e limitate
premetto che non ho proprio idea di come vada svolto e ignorando l'esistenza di un qualche teorema che potesse aiutarmi, ho provato a risolvere l'equazione differenziale ma ottengo:
$ int 1/cos(y+1)dy = int e^x dx $
e da qui usando la sostituzione $ cos (y+1) = (1-t^2)/(1+t^2) $ con $ t=tan ((y+1)/2) $
ottengo che:
$ int (1+t^2)/(1-t^2)* 2/(1+t^2)dt=e^x+c $
$ 2int 1/((1-t)(1+t))dt=e^x+c $
continuando arrivo al momento in cui devo sostituire a t la $ t=tan ((y+1)/2) $ e arrivo a qualcosa di scomodo da cui non credo di riuscire a trarre le risposte ai due quesiti richiesti. Vi sarei grato se riusciste a illuminarmi la strada
) mi sono imbattuto in questo esercizio dalla soluzione a me ignota...diceva:data l'equazione differenziale
$ y'=e^xcos(y+1) $
dimostrare che:
- esistono infinite soluzioni costanti
- esistono infinite soluzioni non costanti e limitate
premetto che non ho proprio idea di come vada svolto e ignorando l'esistenza di un qualche teorema che potesse aiutarmi, ho provato a risolvere l'equazione differenziale ma ottengo:
$ int 1/cos(y+1)dy = int e^x dx $
e da qui usando la sostituzione $ cos (y+1) = (1-t^2)/(1+t^2) $ con $ t=tan ((y+1)/2) $
ottengo che:
$ int (1+t^2)/(1-t^2)* 2/(1+t^2)dt=e^x+c $
$ 2int 1/((1-t)(1+t))dt=e^x+c $
continuando arrivo al momento in cui devo sostituire a t la $ t=tan ((y+1)/2) $ e arrivo a qualcosa di scomodo da cui non credo di riuscire a trarre le risposte ai due quesiti richiesti. Vi sarei grato se riusciste a illuminarmi la strada
Risposte
Beh, almeno alla prima domanda dovresti saper rispondere...
Ricordati che le (eventuali) soluzioni costanti devono avere derivata nulla (quindi il primo membro dell'equazione differenziale è nullo).
Ricordati che le (eventuali) soluzioni costanti devono avere derivata nulla (quindi il primo membro dell'equazione differenziale è nullo).
ok quindi se $ y'=0 $, $ y=k $ e quindi
$ 0=e^xcos(k+1) $
e da qui cosa posso dedurre?
$ 0=e^xcos(k+1) $
e da qui cosa posso dedurre?
Una soluzione costante di una EDO è una funzione del tipo \(y^*(x)=y_0\), con \(y_0\in \mathbb{R}\).
Una funzione del tipo suddetto è una soluzione di una EDO normale del primo ordine del tipo \(y^\prime (x)=f(x,y(x))\) se e solo se per ogni \(x\) in un adeguato intervallo risulta \(f(x,y_0)=0\); in particolare, se la EDO è a variabili separabili, cioé se \(f(x,y)=a(x)b(y)\), allora le soluzioni costanti corrispondono agli zeri di \(b(y)\).
Conseguentemente, per determinare le soluzion costanti di una EDO a variabili separabili occorre e basta risolvere l'equazione \(b(y)=0\).
Per risondere alla seconda questione, ti converrebbe provare a fare uno studio qualitativo delle soluzioni massimali della EDO.
Una funzione del tipo suddetto è una soluzione di una EDO normale del primo ordine del tipo \(y^\prime (x)=f(x,y(x))\) se e solo se per ogni \(x\) in un adeguato intervallo risulta \(f(x,y_0)=0\); in particolare, se la EDO è a variabili separabili, cioé se \(f(x,y)=a(x)b(y)\), allora le soluzioni costanti corrispondono agli zeri di \(b(y)\).
Conseguentemente, per determinare le soluzion costanti di una EDO a variabili separabili occorre e basta risolvere l'equazione \(b(y)=0\).
Per risondere alla seconda questione, ti converrebbe provare a fare uno studio qualitativo delle soluzioni massimali della EDO.
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