Equazione differenziale con condizione..
salve a tutti...sto facendo questo esercizio: Quale delle seguenti funzioni soddisfa l’equazione differenziale $y''-5y'+4y = 0$ con la condizione $y(0) = 0$.
mi sono date 4 opzioni...
io ho trovato l'equazione associata $lambda''-5lambda +4=0$ da cui $lambda= 4,1$.
La soluzione generale è $y(x)=c_1 e^(lambdax) + c_2 x e^(lambdax)$ dunque $y(x)=c_1 e^(4x) + c_2 x e^(x)$
Come devo soddisfare la condizione che mi è stata data??
grazie 1000!!!
mi sono date 4 opzioni...
io ho trovato l'equazione associata $lambda''-5lambda +4=0$ da cui $lambda= 4,1$.
La soluzione generale è $y(x)=c_1 e^(lambdax) + c_2 x e^(lambdax)$ dunque $y(x)=c_1 e^(4x) + c_2 x e^(x)$
Come devo soddisfare la condizione che mi è stata data??
grazie 1000!!!
Risposte
"bius88":
salve a tutti...sto facendo questo esercizio: Quale delle seguenti funzioni soddisfa l’equazione differenziale $y''-5y'+4y = 0$ con la condizione $y(0) = 0$.
mi sono date 4 opzioni...
io ho trovato l'equazione associata $lambda''-5lambda +4=0$ da cui $lambda= 4,1$.
La soluzione generale è $y(x)=c_1 e^(lambdax) + c_2 x e^(lambdax)$ dunque $y(x)=c_1 e^(4x) + c_2 x e^(x)$
Come devo soddisfare la condizione che mi è stata data??
grazie 1000!!!
Beh presa da questo verso devi imporre $c_1+c_2=0$ che ovviamente ha infinite soluzioni.
Pero' se hai quattro opzioni di risposta mi pare basti verificare quale queste verifichi la condizione sopra (e sia del tipo da te trovato).
Comunque, a prescindere da tutto, se hai quatto funzioni note non mi pare difficile andare a vedere quanto fanno in zero.
scusa puoi spiegarti meglio...in pratica devo sostituire zero alla x?? nn ho capito!
"bius88":
scusa puoi spiegarti meglio...in pratica devo sostituire zero alla x?? nn ho capito!
Scusa, ma tu cosa pensi che voglia dire $y(0)$ se non $y(x)$ con zero al posto di $x$ ?
E quindi la condizione $y(0)=0$ diventa $c_1 e^{4\cdot 0}+c_2 e^0=0$ ... (ATTENZIONE che e' $y(x)=c_1e^{4x}+c_2 e^x$, senza la $x$ a moltiplicare $c_2e^x$)
"ViciousGoblin":
(ATTENZIONE che e' $y(x)=c_1e^{4x}+c_2 e^x$, senza la $x$ a moltiplicare $c_2e^x$)
per questo non capivo!! allora mi serve un altro aiuto....la soluzione generale di un'equazione differenziale è solo quella che mi hai detto tu oppure ce ne sono delle altre in base all'equazione associata?? a dire il vero io ho trovato sempre quella con la $x$..!!
"bius88":
[quote="ViciousGoblin"](ATTENZIONE che e' $y(x)=c_1e^{4x}+c_2 e^x$, senza la $x$ a moltiplicare $c_2e^x$)
per questo non capivo!! allora mi serve un altro aiuto....la soluzione generale di un'equazione differenziale è solo quella che mi hai detto tu oppure ce ne sono delle altre in base all'equazione associata?? a dire il vero io ho trovato sempre quella con la $x$..!![/quote]
Forse dovresti studiare la teoria prima di fare degli esercizi.
Comunque data l'equazione differenziale $ay''+by'+cy=0$ consideri il polinomio caratteristico
$P(\lambda)=a\lambda^2+b\lambda+c$ e cerchi le sue radici. Se trovi due radici $\lambda_1$ e $\lambda_2$
REALI E DISTINTE allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono tutte e sole $y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2 e^{\lambda_2 x}$
al variare delle costanti $c_1$ e $c_2$. Se le radici non sono distinte o non sono reali le cose sono un po' diverse ....
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