Equazione differenziale con Bernoulli

[Izzo2]

In una vecchia prova d'esame della mia prof è uscito un esercizio che mi chiedeva di risolvere i seguenti problemi di Cauchy:
${ ( y'= 2y tanx +sqrt(y)e^sinx ),( y(0)=0 ):}$; ${ ( y'= 2y tanx +sqrt(y)e^sinx ),( y(0)=1 ):}$.
Non sarà sicuramente un caso se ne ha dati due uguali ma con soli parametri diversi. Provo a risolvere:
Divido tutto per $sqrt(y)$ , pongo $z= sqrt(y)$ da cui $z'= 1/(2 sqrt(y)) y'$ ed ho:
$2z' = 2z tanx + e^sinx rArr z' =ztanx + e^sinx/2$. Quindi ho:
$z= e^ -(ln |cosx |) int e^sinx/2 e^( ln |cosx |) $.
Ed è qui che ho dei dubbi: il fatto che ci sia il valore assoluto, sarà per questo che ha assegnato due problemi? Come procedo? Grazie

[poll89]

In realtà non ti serve quel valore assoluto. I problemi di Cauchy con eq di Bernouilli hanno soluzioni strettamente locali, quindi definite in opportuni intorni del punto studiato, che in questo caso è $(0,1)$. Dato che $cos(0) = 1$ c'è sicuramente un intorno del punto $x=0$ in $RR$ (chiamiamo $I$ tale intorno) tale che $cos(t) > 0 AA t in I$. Anzi, si vede subito l'intorno massimale di questo tipo, cioè $(-pi,pi)$. Infatti prolungando la soluzione con il modulo, come hai fatto tu, bisogna comunque eliminare i punti che annullano $cos(x)$, e quindi calano le discontinuità.
Appurato questo, senza modulo quell'integrale è decisamente facile e te lo lascio comincia osservando che $ e^( ln cos(x) ) =cos(x) $...

[Izzo2]

Sisi, so come risolvere l'integrale, il mio problema era sapere se quel modulo mi creava problemi..
Per esempio se posto un altro esercizio qui sotto puoi darmi una risposta?