Equazione differenziale con argomenti diversi
Ciao,
(che emozione postare in analisi!
)
ieri mi è stato proposto il seguente problema, che ho trovato interessante: risolvere
[tex]f'(x) = f(x-1)[/tex]
Mi sapreste dire se c'è una teoria generale riguardante questo tipo di equazioni? Io non avrei idea di dove cominciare a mettere le mani. Immagino che una eventuale soluzione (se esiste) avrà una qualche parentela con l'esponenziale. Mettersi a cercare soluzioni periodiche non porta da nessuna parte.
Poi magari mi sfugge qualcosa e questa equazione è facilmente riconducibile alle equazioni differenziali "ordinarie".. ma così a occhio non mi sembra.
Grazie, ciao
(che emozione postare in analisi!
)ieri mi è stato proposto il seguente problema, che ho trovato interessante: risolvere
[tex]f'(x) = f(x-1)[/tex]
Mi sapreste dire se c'è una teoria generale riguardante questo tipo di equazioni? Io non avrei idea di dove cominciare a mettere le mani. Immagino che una eventuale soluzione (se esiste) avrà una qualche parentela con l'esponenziale. Mettersi a cercare soluzioni periodiche non porta da nessuna parte.
Poi magari mi sfugge qualcosa e questa equazione è facilmente riconducibile alle equazioni differenziali "ordinarie".. ma così a occhio non mi sembra.
Grazie, ciao
Risposte
Beh, intanto se fosse stato $f'(x)=f(x-3/2pi)$
Una possibile soluzione potrebbe essere $f(x)=sin(x)$
Non so se può essere utile... Ma si potrebbe "inventare" una nuova funzione simile a $sin(x)$ che, invece di avere periodo $2pi$ come il seno, ha un periodo opportuno in modo tale da rendere vera la tua uguaglianza
Una possibile soluzione potrebbe essere $f(x)=sin(x)$
Non so se può essere utile... Ma si potrebbe "inventare" una nuova funzione simile a $sin(x)$ che, invece di avere periodo $2pi$ come il seno, ha un periodo opportuno in modo tale da rendere vera la tua uguaglianza
E' un'equazione differenziale con ritardo.
La teoria generale (esistenza, unicità) passa attraverso la formulazione integrale (così come per le OdE).
Non mi ricordo molto, ma per un'equazione lineare, del tipo
$f'(x) = \alpha f(x) + \beta f(x-T)$
puoi cercare soluzioni del tipo $f(x) = c\cdot e^{\lambda x}$.
Nel tuo caso, andando a sostituire ottieni la relazione $\lambda = e^{-\lambda}$; detta $\lambda_0$ l'unica soluzione di questa equazione,
ottieni soluzioni del tipo
$f(x) = c\cdot e^{\lambda_0 x}$.
EDIT: corretto un errore.
La teoria generale (esistenza, unicità) passa attraverso la formulazione integrale (così come per le OdE).
Non mi ricordo molto, ma per un'equazione lineare, del tipo
$f'(x) = \alpha f(x) + \beta f(x-T)$
puoi cercare soluzioni del tipo $f(x) = c\cdot e^{\lambda x}$.
Nel tuo caso, andando a sostituire ottieni la relazione $\lambda = e^{-\lambda}$; detta $\lambda_0$ l'unica soluzione di questa equazione,
ottieni soluzioni del tipo
$f(x) = c\cdot e^{\lambda_0 x}$.
EDIT: corretto un errore.
@Gi8: curiosamente non sembra esserci un metodo canonico per trasporre la tua idea a un caso generale. Giusto comunque, avevo pensato solo a soluzioni periodiche di periodo 1, in effetti sono stato un po' pigro 
@Rigel: grazie, ora posso documentarmi!
@Rigel: grazie, ora posso documentarmi!
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