Equazione differenziale che non so risolvere

[Cappagoal]

trovare l'integrale generale di:

y''+y=1+xe^x
p.s ^x sta per e elevato a x mi servono tutti i passaggi vi prego
...............

[Woody1]

Poichè l'equazione è lineare non omogenea, l'insieme di tutte le soluzioni è l'insieme delle funzioni aventi la forma:
y = y0 + a1*y1+...+an*yn , dove y0 è una soluzione dell'equazione, mentre y1 ... yn sono una base dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea e a1...an sono numeri complessi arbitrari.
Una soluzione dell'equazione è : y0 = (x*e^x)/2 . Le radici del polinomio associato all'equazione, cioè: x^2 + 1 , sono: i e -i. Dunque una base è:
y1 = e^(i) , y2 = e^(-i) . Dunque ogni soluzione dell'equazione è della forma:
y = (x*e^x)/2 + a1*e^(ix) + a2*e^(-ix) .
Se cerchi le soluzioni reali: (pongo a1=a2)
y = (x*e^x)/2 + a1*cos(x) .
Saluti, Woody.

[Woody1]

Ho commesso un errore: una base dello spazio delle soluzioni dell'omogenea è:
y1 = e^(ix) , y2 = e^(-ix) .
Saluti, Woody.

[Cappagoal]

lo so che sn scocciante mi riassumeresti i pasaggi
nel caso specifico.......scusa