Equazione differenziale che non mi viene >:(((

[Topina1980]

Ciao a tutti, sto preparando l'esame di analisi 2 e sto letteralmente impazzendo con questa eq. differenziale, non riesco a trovare l'integrale particolare, sembra una cavolata e di sicuro lo è, sarà un mio errore chissà dove... aiutatemi, vi prego, o andrò fuori di testa!!

[Gi81]

Prova con $y(x)=ax^2+bx+c$

edit: no, non viene. meglio provare come dice Rigel

[Rigel1]

Con la sostituzione $z=y-2x^2$ dovresti riportarla ad una forma nota (eq. lineare di Eulero).

[Gi81]

@Rigel: riguardando un attimo il tuo suggerimento, non mi sembra che quella sostituzione porti a particolari cambiamenti.
Infatti l'equazione differenziale di partenza $x^2*y''+x*y'-4y=4x^2$,
con la sostituzione ${(z=y-2x^2),(z'=y'-4x),(z''=y''-4):}$
diventa $x^2*z''+4x^2+x*z'+x*4x-4z-4*2x^2=4x^2 $, cioè $x^2*z''+x*z'-4z=4x^2$

Insomma, non cambia molto
(il motivo è che $-2x^2$ è soluzione particolare dell'omogenea associata)

[Gi81]

@Topina1980: Dato che cerchi l'integrale particolare, immagino che hai già trovato la soluzione generale
dell'equazione omogenea associata: $x^2*y''+x*y'-4y=0$
Essa sarà della forma $y(x)= a*f(x)+b*g(x)$, con $a,b in RR$ (sai già tu cosa sono $f$ e $g$ precisamente)

Per trovare la soluzione particolare suggerisco il metodo della variazione delle costanti (lo conosci? click)
Cerchi la soluzione nella forma $y(x)=a(x)*f(x)+b(x)*g(x)$

I calcoli non sono troppo complicati. Se hai dubbi chiedi pure