Equazione differenziale - Cauchy
salve sono alle prese con questo problema di cauchy che credo sia errato nel procedimento..vorrei che mi aiutaste 
$\{(y' = (pi(y^2+1))/(x^3)) ,(y(1/2) = 0):} $
riscrivo $y' = (pi(y^2+1))/(x^3) = y'(x) - (pi y^2)/x^3 = pi/x^3 $
da cui
$a_0 (t)= -pi/x^3 $ e $ g(t) = pi/x^3 $
(qui ho un dubbio: di solito $a_0$ si pone uguale a $y$, ma qui l'ho posto uguale a $y^2$...non so se è giusto)
quindi $A(t) = int (a_0) dt$ = $pi/(2x^2)$
ora applico la formula risolutiva:
$y(t) = e^(-A(t)) [y_0 + int_(t_0)^(t) g(s) e^(A(s)) ds ] $ $=$ $ e^(-pi/(2x^2)) [0 + int_(1/2)^(0) pi/x^3 * e^(pi/(2 x^2)) dx] $
e faccio i vari calcoli..
credo che sia sbagliato qualcosa ma non so cosa..
$\{(y' = (pi(y^2+1))/(x^3)) ,(y(1/2) = 0):} $
riscrivo $y' = (pi(y^2+1))/(x^3) = y'(x) - (pi y^2)/x^3 = pi/x^3 $
da cui
$a_0 (t)= -pi/x^3 $ e $ g(t) = pi/x^3 $
(qui ho un dubbio: di solito $a_0$ si pone uguale a $y$, ma qui l'ho posto uguale a $y^2$...non so se è giusto)
quindi $A(t) = int (a_0) dt$ = $pi/(2x^2)$
ora applico la formula risolutiva:
$y(t) = e^(-A(t)) [y_0 + int_(t_0)^(t) g(s) e^(A(s)) ds ] $ $=$ $ e^(-pi/(2x^2)) [0 + int_(1/2)^(0) pi/x^3 * e^(pi/(2 x^2)) dx] $
e faccio i vari calcoli..
credo che sia sbagliato qualcosa ma non so cosa..
Risposte
Attenzione, hai applicato la formula risolutiva per le equazioni lineari, mentre la tua non lo è: hai $y^2$... l'equazione data è però a variabili separabili.
come dovrei procedere?
risolvo normalmente l'equazione a variabile separabile e poi applico cauchy?
risolvo normalmente l'equazione a variabile separabile e poi applico cauchy?
Devi separare le variabili, $\frac{y'}{y^2+1}=\frac{\pi}{x^3}$ e adesso integri membro a membro tra $1/2$ e $x$...
ok ok grazie
Consideriamo il PdC:
\[\tag{1}
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= \frac{\pi\cdot \big( y^2 (x)+1\big)}{x^3}\\ y\left( \tfrac{1}{2}\right) &= 0 \end{split}\right.
\]
il cui secondo membro, i.e. \(f(x,y):= \frac{\pi (y^2 +1)}{x^3}\), è definito e di classe \(C^\infty\) in \(\Omega := (\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\times \mathbb{R}\).
Tale problema è ben posto, poiché il punto iniziale \((x_0,y_0)=(1/2,0)\) è in \(\Omega\), ed ha soluzione unica (per il teorema di esistenza ed unicità) di classe \(C^\infty\) definita in un opportuno intorno \(I\) di \(x_0=1/2\) tutto contenuto in \(]0,+\infty[\).
Dato che \(f(x,y)>0\) in \(]0,+\infty[\times \mathbb{R}\), la soluzione \(y(\cdot ;1/2,0)\) del PdC ha derivata prima positiva in \(I\): pertanto essa è strettamente crescente nell'intervallo considerato.
Poiché la quantità \(y^2(x) + 1\) è ovunque diversa da zero lungo la soluzione, si può dividere m.a.m. per \(y^2(x) + 1\) ottendo una EDO equivalente ed a variabili separate, cioé:
\[\tag{2}
\frac{y^\prime (x)}{y^2(x) + 1} = \frac{\pi}{x^3}\; .
\]
Prendendo \(x > \frac{1}{2}\) ed integrando m.a.m. la (2) sull'intervallo \([1/2 , x]\) si trova:
\[\tag{3}
\int_{1/2}^x\frac{y^\prime (t)}{y^2(t) + 1}\ \text{d} t = \int_{1/2}^x \frac{\pi}{t^3}\ \text{d} t\; ,
\]
valida almeno per \(x\) "sufficientemente vicino" a \(1/2\).[nota]Si ricordi che, nonostante la sua esistenza discenda dal teorema di esistenza, l'intervallo \(I\) in cui è definita la soluzione del PdC non è stato ancora determinato esplicitamente; perciò non è possibile dare una stima precisa dell'intervallo di variazione della variabile indipendente.[/nota]
Facendo nell'integrale definito al primo membro di (3) la sostituzione \(\tau = y(t)\) e ricordando la condizione iniziale \(y(1/2)=0\), si ottiene:
\[
\int_0^{y(x)} \frac{1}{\tau^2 + 1}\ \text{d} \tau = \int_{1/2}^x \frac{\pi}{t^3}\ \text{d} t\; ,
\]
ossia:
\[
\left[\arctan \tau \right]_0^{y(x)} = \left[-\frac{\pi}{2 t^2}\right]_{1/2}^x\; ,
\]
uguaglianza che fornisce la soluzione del PdC in forma implicita:
\[\tag{4}
\arctan y(x) = 2\pi - \frac{\pi}{2x^2}\; .
\]
D'altra parte, se \(02) sull'intervallo \([x,1/2]\) e si perviene nuovamente alla (4).
Pertanto la (4) definisce implicitamente la soluzione \(y(\cdot ;1/2,0)\) del PdC in tutto l'intervallo di esistenza \(I\).
Per le note proprietà dell'arcotangente, l'equazione in forma implicta si può esplicitare rispetto ad \(y(x)\) unicamente per quegli \(x\) tali che:
\[
\left\{ \begin{split}2\pi - \frac{\pi}{2x^2} &> - \frac{\pi}{2} \\ 2\pi - \frac{\pi}{2x^2} &< \frac{\pi}{2}\end{split}\right.
\]
i.e.:
\[
\left\{ \begin{split} x^2 &> \frac{1}{5} \\ x^2 &< \frac{1}{3}\; .\end{split}\right.
\]
Tenendo presente che, per quanto detto all'inizio, deve essere \(x>0\), dalle precedenti si trae che la soluzione del PdC definita implicitamente dall'equazione (4) ha dominio:
\[
I=\left] \frac{1}{\sqrt{5}} , \frac{1}{\sqrt{3}}\right[
\]
(che è effettivamente un intorno di \(1/2\), come ci aspettavamo) ed è ivi definita dall'assegnazione:
\[
y(x;1/2,0) := \tan \left( 2\pi - \frac{\pi}{2x^2}\right)\; .
\]
\[\tag{1}
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= \frac{\pi\cdot \big( y^2 (x)+1\big)}{x^3}\\ y\left( \tfrac{1}{2}\right) &= 0 \end{split}\right.
\]
il cui secondo membro, i.e. \(f(x,y):= \frac{\pi (y^2 +1)}{x^3}\), è definito e di classe \(C^\infty\) in \(\Omega := (\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\times \mathbb{R}\).
Tale problema è ben posto, poiché il punto iniziale \((x_0,y_0)=(1/2,0)\) è in \(\Omega\), ed ha soluzione unica (per il teorema di esistenza ed unicità) di classe \(C^\infty\) definita in un opportuno intorno \(I\) di \(x_0=1/2\) tutto contenuto in \(]0,+\infty[\).
Dato che \(f(x,y)>0\) in \(]0,+\infty[\times \mathbb{R}\), la soluzione \(y(\cdot ;1/2,0)\) del PdC ha derivata prima positiva in \(I\): pertanto essa è strettamente crescente nell'intervallo considerato.
Poiché la quantità \(y^2(x) + 1\) è ovunque diversa da zero lungo la soluzione, si può dividere m.a.m. per \(y^2(x) + 1\) ottendo una EDO equivalente ed a variabili separate, cioé:
\[\tag{2}
\frac{y^\prime (x)}{y^2(x) + 1} = \frac{\pi}{x^3}\; .
\]
Prendendo \(x > \frac{1}{2}\) ed integrando m.a.m. la (2) sull'intervallo \([1/2 , x]\) si trova:
\[\tag{3}
\int_{1/2}^x\frac{y^\prime (t)}{y^2(t) + 1}\ \text{d} t = \int_{1/2}^x \frac{\pi}{t^3}\ \text{d} t\; ,
\]
valida almeno per \(x\) "sufficientemente vicino" a \(1/2\).[nota]Si ricordi che, nonostante la sua esistenza discenda dal teorema di esistenza, l'intervallo \(I\) in cui è definita la soluzione del PdC non è stato ancora determinato esplicitamente; perciò non è possibile dare una stima precisa dell'intervallo di variazione della variabile indipendente.[/nota]
Facendo nell'integrale definito al primo membro di (3) la sostituzione \(\tau = y(t)\) e ricordando la condizione iniziale \(y(1/2)=0\), si ottiene:
\[
\int_0^{y(x)} \frac{1}{\tau^2 + 1}\ \text{d} \tau = \int_{1/2}^x \frac{\pi}{t^3}\ \text{d} t\; ,
\]
ossia:
\[
\left[\arctan \tau \right]_0^{y(x)} = \left[-\frac{\pi}{2 t^2}\right]_{1/2}^x\; ,
\]
uguaglianza che fornisce la soluzione del PdC in forma implicita:
\[\tag{4}
\arctan y(x) = 2\pi - \frac{\pi}{2x^2}\; .
\]
D'altra parte, se \(0
Pertanto la (4) definisce implicitamente la soluzione \(y(\cdot ;1/2,0)\) del PdC in tutto l'intervallo di esistenza \(I\).
Per le note proprietà dell'arcotangente, l'equazione in forma implicta si può esplicitare rispetto ad \(y(x)\) unicamente per quegli \(x\) tali che:
\[
\left\{ \begin{split}2\pi - \frac{\pi}{2x^2} &> - \frac{\pi}{2} \\ 2\pi - \frac{\pi}{2x^2} &< \frac{\pi}{2}\end{split}\right.
\]
i.e.:
\[
\left\{ \begin{split} x^2 &> \frac{1}{5} \\ x^2 &< \frac{1}{3}\; .\end{split}\right.
\]
Tenendo presente che, per quanto detto all'inizio, deve essere \(x>0\), dalle precedenti si trae che la soluzione del PdC definita implicitamente dall'equazione (4) ha dominio:
\[
I=\left] \frac{1}{\sqrt{5}} , \frac{1}{\sqrt{3}}\right[
\]
(che è effettivamente un intorno di \(1/2\), come ci aspettavamo) ed è ivi definita dall'assegnazione:
\[
y(x;1/2,0) := \tan \left( 2\pi - \frac{\pi}{2x^2}\right)\; .
\]
grazie anche a te gugo per la risposta
avrei giusto un dubbio...è possibile risolvere questo integrale in modo indefinito e poi alla fine sostituire la condizione iniziale?
avrei giusto un dubbio...è possibile risolvere questo integrale in modo indefinito e poi alla fine sostituire la condizione iniziale?
"gugo82":
\[ \tag{3} \int_{1/2}^x\frac{y^\prime (t)}{y^2(t) + 1}\ \text{d} t = \int_{1/2}^x \frac{\pi}{t^3}\ \text{d} t\; , \]
Possibile sì, ed è il metodo col quale questi problemi venivano affrontati fin dall'inizio della teoria delle equazioni differenziali.
Tuttavia, dato che ne è passata di acqua sotto i ponti, io preferisco usare le funzioni integrali, piuttosto che l'integrale indefinito.
Tuttavia, dato che ne è passata di acqua sotto i ponti, io preferisco usare le funzioni integrali, piuttosto che l'integrale indefinito.
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