Equazione differenziale (bernoulli?)
il libro la risolve usando la sostituzione che trasforma le bernoulliane in una equ. lineare
ecco l'equazione
$(1-t^2)*x' - t*x - t*x^2 = 0$
a me era venuto in mente di fare così
$(1-t^2)*x' = t*x *(1+ x)$
$x' / (x*(1+x)) = t/(1-t^2) $
e poi integrare e mi veniva
$ln(x) - ln(1+x) = ln(1-t^2)$
siccome il risultato viene diverso, evidentemente quello che mi eraa venuto in mente di fare non ha senso. Ma non capisco perchè.
Grazie mille
ecco l'equazione
$(1-t^2)*x' - t*x - t*x^2 = 0$
a me era venuto in mente di fare così
$(1-t^2)*x' = t*x *(1+ x)$
$x' / (x*(1+x)) = t/(1-t^2) $
e poi integrare e mi veniva
$ln(x) - ln(1+x) = ln(1-t^2)$
siccome il risultato viene diverso, evidentemente quello che mi eraa venuto in mente di fare non ha senso. Ma non capisco perchè.
Grazie mille
Risposte
Il procedimento che hai seguito è ok. Soltanto ci sono delle dimenticanze:
$ln(x)-ln(x+1)=-1/2 ln(1-t^2) + K$
$ln((x+1)/x)=ln(sqrt(c(1-t^2)))$
Da questa si arriva a ricavare:
$x=1/(sqrt(c(1-t^2))-1)$
Sostituendo questa x nell'equazione differenziale di partenza, se non ho sbagliato i calcoli, si verifica che effettivamente quella trovata è una soluzione.
$ln(x)-ln(x+1)=-1/2 ln(1-t^2) + K$
$ln((x+1)/x)=ln(sqrt(c(1-t^2)))$
Da questa si arriva a ricavare:
$x=1/(sqrt(c(1-t^2))-1)$
Sostituendo questa x nell'equazione differenziale di partenza, se non ho sbagliato i calcoli, si verifica che effettivamente quella trovata è una soluzione.
è vero! è proprio così! grazie mille!
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