Equazione Differenziale ANII
Salve ragazzi non riesco a procedere riguardo la seguente equzione differenziale
$ y'' -y' =2x e^x $
Io ho calcolato la soluzione dell' omogenea ottenendo
$\lambda_1 =0 $ e $\lambda_2=1$ e quindi avremo una soluzione $ y_o(x) = c_1 +c_2 e^x $
Ora la soluzione particolare non riesco a trovarla perchè io mi rifaccio sempre a questa formula:
$e^(lambda x) (P(x)cos(omegax)+ Q(x)sen(omegax))$
e quindi per per farla somigliare c'ho $lambda=1 e omega=0$ in modo tale da ricavarmi e^x
però poichè c'ho anche 2x e lambda coincide con almeno una delle due soluzioni,
la soluzione particolare sarà del tipo $x e^(lambda x)(P(x))$
ma da qui in poi non so come continuare...
Forse sono anche io che non ho bene le idee chiare.
Mi illuminereste per favore?
$ y'' -y' =2x e^x $
Io ho calcolato la soluzione dell' omogenea ottenendo
$\lambda_1 =0 $ e $\lambda_2=1$ e quindi avremo una soluzione $ y_o(x) = c_1 +c_2 e^x $
Ora la soluzione particolare non riesco a trovarla perchè io mi rifaccio sempre a questa formula:
$e^(lambda x) (P(x)cos(omegax)+ Q(x)sen(omegax))$
e quindi per per farla somigliare c'ho $lambda=1 e omega=0$ in modo tale da ricavarmi e^x
però poichè c'ho anche 2x e lambda coincide con almeno una delle due soluzioni,
la soluzione particolare sarà del tipo $x e^(lambda x)(P(x))$
ma da qui in poi non so come continuare...
Forse sono anche io che non ho bene le idee chiare.
Mi illuminereste per favore?
Risposte
devi guardare il numero complesso
$z= lambda + i omega = 1$ e vedi se è suluzione della omogenea associata... si!
molteplicità = 1
la soluzione particolare sarà
$y_p = x e^x P(x)$
dove $P(x)$ è polinomio di grado 1 cioè una costante
se i calcoli mi aiutano avrò, sperando di non sbagliare
$y_p = A x e^x$
$y'_p = A e^x + A x e^x$
$y''_p = 2A e^x + A x e^x $
sostituisci nella equazione di base e trova $A$
ciao!
$z= lambda + i omega = 1$ e vedi se è suluzione della omogenea associata... si!
molteplicità = 1
la soluzione particolare sarà
$y_p = x e^x P(x)$
dove $P(x)$ è polinomio di grado 1 cioè una costante
se i calcoli mi aiutano avrò, sperando di non sbagliare
$y_p = A x e^x$
$y'_p = A e^x + A x e^x$
$y''_p = 2A e^x + A x e^x $
sostituisci nella equazione di base e trova $A$
ciao!
Ciao, prima di tutto grazie mille dell'aiuto però volevo chiederti un chiarimento.
Nel momento in cui si sceglie il polinomio $P(x)$ ovviamente deve essere di primo grado, però io quando avevo pensato al polinomio avevo pensato subito a $Ax + B$ essendo di primo grado.
Ora tu hai scelto solo A perchè nel momento in cui avessimo scelto $Ax + B$ avremmo superato l'ordine 1?
Perchè ci saremmo ritrovati in questa situazione : $e^x x (Ax +B)$ ?
E' giusto il ragionamento?
Nel momento in cui si sceglie il polinomio $P(x)$ ovviamente deve essere di primo grado, però io quando avevo pensato al polinomio avevo pensato subito a $Ax + B$ essendo di primo grado.
Ora tu hai scelto solo A perchè nel momento in cui avessimo scelto $Ax + B$ avremmo superato l'ordine 1?
Perchè ci saremmo ritrovati in questa situazione : $e^x x (Ax +B)$ ?
E' giusto il ragionamento?
No scusa... ho sbagliato io... di grado $1$ è proprio $Ax+B$... la vecchiaia incombe maledetta...
la soluzione particolare è
$y_p = x e^x (Ax + B)$
derivi due volte, sostituisci e trovi le costanti $A$ e $B$
$y'_p=e^x(2Ax+Ax^2+B+Bx)$
$y''_p=e^x(2A+4Ax+Ax^2+2B+Bx)$
dovrebbe venire
$A=1/2$
$B=-1$
ciao
la soluzione particolare è
$y_p = x e^x (Ax + B)$
derivi due volte, sostituisci e trovi le costanti $A$ e $B$
$y'_p=e^x(2Ax+Ax^2+B+Bx)$
$y''_p=e^x(2A+4Ax+Ax^2+2B+Bx)$
dovrebbe venire
$A=1/2$
$B=-1$
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo