Equazione differenziale, andamento vicino all'origine

[Oo.Stud.ssa.oO]

Avevo già proposto un esercizio simile, ma lo stesso questo non riesco a risolverlo:
voglio sapere l'andamento vicino allo zero di questa equazione differenziale:

$y'=y+e^{-4ty}$
$y(0)=1$

Devo studiare il segno di $y'=y+e^{-4ty}$ giusto? $y+e^{-4ty}$ è sempre positiva?
e come calcolo la derivata seconda?

[amivaleo]

$\dot{y}=0$ quando $y+e^{-4ty} = 0 <=> -y = e^{-4ty}$
questa ultima relazione è soddisfatta per $y < 0$. infatti a destra hai un oggetto sempre positivo. inoltre quando $y = 0$, la relazione non è soddisfatta.
dato che io non vedo come poter riscrivere questa relazione nella forma $y = f(t)$, la scrivo nella forma $t = g(y)$:
$t = - {ln(-y)}/{4y}$
e quindi puoi disegnarne il grafico che, dato quanto detto, vive solo nel semipiano $y<0$.

sapendo quando $\dot{y}=0$, puoi sapere anche quando $\dot{y}>0$ e $\dot{y}<0$ e, da qui, iniziare ad avere qualche informazione sulla soluzione.

per la derivata seconda: devi derivare nuovamente $\dot{y}$ rispetto a $t$, ricordando che $y = y(t)$ e che, inoltre, $d/{dt} f(y(t)) = {\partial f} / {\partial y} (y) \cdot \dot{y}$

[ciampax]

Io la farei più semplice: dallo sviluppo di MacLaurin sappiamo che

$y(t)=y(0)+y'(0)\cdot t+y''(0)\cdot t^2+R(t)$

Ora: $y(0)=1$ e $y'(0)=y(0)+e^0=2$. Inoltre $y''=y'-4y' e^{-4ty}$ e quindi $y''(0)=2-8=-6$

ne segue che $y(t)=1+2t-6t^2+o(t)$, pertanto la funzione ha un andamento di tipo parabolico, crescente e concava.

[Oo.Stud.ssa.oO]

Grazie a tutti e due