Equazione Differenziale alle derivate parziali

[squalllionheart]

Salve sicuramente chiedo una banalità devo risolvere questa equazione differenziale:
$\{(u_(tt)+2u_t-u_(x x)=0), (u(0,t)=u(pi,t)=0), (u(x,0)=sinx),(u_t(x,0)=sin3x):}$
con $x in(0,pi)$ e $t>=0$
come si risolve? Io ero abbastanza convinta che bastasse fare un cambio di variabili del tipo $u(x,t)=v(x,t)e^(ax+bt)$ per riportarmi al caso genereale ma non funge...

[gugo82]

Ma, senza fare troppi casini, io userei la separazione di variabili nella PDE così com'è.

[squalllionheart]

Gugo grande !!!!
Avevo pensato a quella sostituzione perchè la si usa nel caso analogo dell'equazione del calore...
Cmq facendo quello che mi hai detto tu viene qualcosa di MOLTO dignitoso.
$v''(x)=lambda v(x)$
$c''(t)+2c'(t)=lambda c(t)$
Alla fine è lo stesso del caso standard solo che ho un'equazione differenziale del secondo ordine del tipo $c''(t)+2c'(t)=lambda c(t)$ invece del solito caso $c''(t)=lambda c(t)$ ma so risolverla cmq.
Continuo come faccio di solito...se ho intoppi ti disturbo in serata
Grazie Mari

[squalllionheart]

Gughettino dato che sei tanto bravo mi controlleresti se l'ho fatto bene.
Il problema era:
$\{(u_(tt)+2u_t-u_(x x)=0), (u(0,t)=u(pi,t)=0), (u(x,0)=sinx),(u_t(x,0)=sin3x):}$


Usando il metodo che mi hai suggerito tu trovo che, posto:
$u(x,t)=v(x)c(t)$
Ottengo:

$(c''(t))/(c(t)) + 2(c'(t))/(c(t))=(v''(x))/(v(x))=lambda$

Ho due equazioni differenziale del secondo ordine:

$c''(t)+2c'(t)-lambda c(t)=0$

$v''(x)-lambda v(x)=0$

Salto un pò di passaggi si arriva che la seconda equazione differenziale se $lambda=-mu^2$ ha soluzione
$v(x)=sin(kx)$
Dunque
$u(x,t)=sum_1 ^oo sin(kx) c_k(t)$
$u_(t)=sum_1 ^oo sin(kx) c_k'(t)$
$u_(t t)=sum_1 ^oo sin(kx) c_k''(t)$
$u_(x x)=sum_1 ^oo -(k)^2 sin(kx) c_k(t)$


Quindi si arriva all'ugualianza
$u_(t t)+2u_(t)-u_(x x)=sum_1 ^oo [c_k''(t)+2c_k'(t)+k^2 c_k(t) ] sin(kx)=0$

Usando le ultime condizioni iniziali
$u(x,0)=sinx$ e $u_t(x,0)=sin3x$

Trovo i dati iniziali per i due problemi di Cauchy del secondo ordine:

$c_k(0)={(1 text{ se k=1} ), (0 text{ altrimenti} ):}$

$$

$c'_k(0)={(1 text{ se k=3} ), (0 text{ altrimenti} ):}$


Dunque attengo che devo risolvere i due problemi di Cauchy:

Per $k=1$
$\{(c_1''(t)+2c_1'(t)+ c_1(t)=0), (c_1(0)=1), (c_1'(0)=0):}$

Per $k=3$
$\{(c_3''(t)+2c_3'(t)+ 9 c_3(t)=0), (c_3(0)=1), (c_3'(0)=0):}$

Siano $c_1(t)$ e $c_3(t)$ le soluzioni, non le scrivo per brevità...

La soluzione sarà dunque:
$u(x,t)=c_1(t)sinx+c_3(t)sin3x$


Io credo che vada bene...
Grazie in anticipo