Equazione differenziale al variare di un parametro

[hastings1]

Ho qui un problema che non riesco a capire. Non so da dove cominciare!

Data l'equazione diff. al variare del parametro reale a$<=$0,
$y''+2ay(x)+e^x =0 $

1. Determinare il valore di $a$ per cui $y(x)= e^x$ è una soluz particolare.
2. Come si fa a stabilire se per $a=\ -\ 1/2$ la funz $y(x)=1/4e^x(1-2x)$ verifica l'equazione?

[_Tipper]

Sostituendo nell'equazione al posto di $y$ $e^x$ si ottiene

$e^x + 2a e^x + e^x = 0$

cioè

$e^x (2+2a) = 0$

ed è verificata se e solo se $2+2a=0$ cioè $a=-1$.

[_Tipper]

Per il punto 2. fai uguale, al posto di $a$ metti $-\frac{1}{2}$, al posto di $y$ metti quella funzione, e vedi se viene fuori un'identità o meno.

[hastings1]

Se devo trovare l'integrale generale per i valori di $a!= \ -\ 1/2$ ma $a<=0 $, come devo fare?

Intanto faccio l'equaz caratt dell'omogenea associata
$y''(x)+2ay(x)+e^x=0 $ ==> $lambda^2+2a=0$ da cui $lambda=+-sqrt(-2a)$ (-2a è posit xkè "a" è neg.) cioè due soluzioni distinte quindi

parte dell'integrale generale sarà: $y(x)= C_1e^(sqrt(-2a)x)+C_2e^(-sqrt(-2a)x) +$ ...

Ora, come devo trattare l' $e^x$ dell'eq diff? Come faccio a trovare la sua primitiva?
Devo trattare a parte il caso a=0?

[_Tipper]

Puoi riscrivere l'equazione come $-y'' - 2ay = e^{x}$

Detto $D^n[y]$ l'operatore di derivazione n-esima, applichiamo l'operatore $(D-1)[y]$ ad entrambi i membri, ottenendo:

$(D-1)(-D^2 - 2a)[y] = (D-1)[e^x]$

$(D-1)(-D^2 - 2a)[y] = D[e^x] - e^x$

$(D-1)(-D^2 - 2a)[y] = e^x - e^x$

$(D-1)(-D^2 - 2a)[y] = 0$

Chiamando ora $D^n[y] = \lambda^n$ si passa all'equazione algebrica assotiata:

$-(\lambda - 1)(\lambda^2 + 2a) = 0$

e le soluzioni sono

$\lambda= \pm \sqrt{-2a}$ e queste soluzioni dell'omogenea

$\lambda = 1$ che non è stata trovata come soluzione dell'omogenea, dato che a $\lambda=1$ corrisponde $e^x$, allora si deve determinare una costante $c$ tale che $c e^x$ è soluzione particolare della completa, sostituiendo nell'equazione si ottiene

$c e^x + 2ace^x = -e^x$

$e^x(c+2ac+1)=0$

verificata per $c = -\frac{1}{1+2a}$ quindi $-\frac{1}{1+2a} e^x$ è una soluzione della particolare, di conseguenza l'integrale generale si ottiene sommando questa soluzione alla famiglia di soluzioni dell'omogenea associata:

$y(x)= C_1e^{\sqrt{-2a}x}+C_2e^{-\sqrt{-2a}x} -\frac{1}{1+2a} e^x$