Equazione differenziale al variare di k
Buon giorno! Preparando l'esame di Analisi Matematica 2 su una prova mi sono ritrovato il seguente esercizio
Al variare di $k>0$ , trovare tutte le soluzioni di $y^('') + k^2y=cos(kx)$
Successivamente determinare le soluzioni tali che
$\lim_{x \to 0 } (y(x))/x=1$
Premetto col dire che a lezione la seconda parte dell'esercizio non l'abbiamo proprio vista non saprei proprio da dove partire. Magari devo vedere una volta determinato quando vale il limite della soluzione fratto x diviso x?
Nella prima parte dell'esercizio invece la questione è un'altra. Procedo come segue
$lambda^2+k^2=0$
Invece per la seconda parta non so proprio da dove cominciare. Qualcuno mi può dare un chiarimento sulla cosa?
$Delta=-4K^2$
$lambda_(1,2)=+-2ki$
La soluzione è del tipo $y(x)=e^(alphax)(c_1cos(betax)+c_2sen(betax))$
Nel nostro caso $alpha=0$ e $beta=2k$
Allora $y(x)=c_1cos(2kx)+c_2sen(2kx)$
La soluzione particolare sarà del tipo $y=x(Acos(kx)+BSen(kx))$
$y^{\prime}=x(-Asen(kx)+Bcos(kx))+Acos(kx)+Bsen(kx)$
$y^('')=-x(Acos(kx)+Bsen(kx))-2Asen(kx)+2Bcos(kx)$
Andando a sostituire nell'equazione differenziale ottengo (tralasciando i calcoli)
$-2Asen(kx)+2Bcos(kx)=cos(kx) => A=0 , B=1/2$
La soluzione particolare è
$y=x/2sen(kx)$
La soluzione completa dell'equazione differenziale è
$y=c_1cos(2kx)+c_2sen(2kx)+x/2sen(kx)$
La prima parte è completa o devo determinare in qualche modo $k$?
Per quanto riguarda la seconda parte non so proprio da dove cominciare. Il mio ragionamento fatto sopra è giusto? Qualcuno può darmi dei chiarimenti in merito?
Grazie!
Al variare di $k>0$ , trovare tutte le soluzioni di $y^('') + k^2y=cos(kx)$
Successivamente determinare le soluzioni tali che
$\lim_{x \to 0 } (y(x))/x=1$
Premetto col dire che a lezione la seconda parte dell'esercizio non l'abbiamo proprio vista non saprei proprio da dove partire. Magari devo vedere una volta determinato quando vale il limite della soluzione fratto x diviso x?
Nella prima parte dell'esercizio invece la questione è un'altra. Procedo come segue
$lambda^2+k^2=0$
Invece per la seconda parta non so proprio da dove cominciare. Qualcuno mi può dare un chiarimento sulla cosa?
$Delta=-4K^2$
$lambda_(1,2)=+-2ki$
La soluzione è del tipo $y(x)=e^(alphax)(c_1cos(betax)+c_2sen(betax))$
Nel nostro caso $alpha=0$ e $beta=2k$
Allora $y(x)=c_1cos(2kx)+c_2sen(2kx)$
La soluzione particolare sarà del tipo $y=x(Acos(kx)+BSen(kx))$
$y^{\prime}=x(-Asen(kx)+Bcos(kx))+Acos(kx)+Bsen(kx)$
$y^('')=-x(Acos(kx)+Bsen(kx))-2Asen(kx)+2Bcos(kx)$
Andando a sostituire nell'equazione differenziale ottengo (tralasciando i calcoli)
$-2Asen(kx)+2Bcos(kx)=cos(kx) => A=0 , B=1/2$
La soluzione particolare è
$y=x/2sen(kx)$
La soluzione completa dell'equazione differenziale è
$y=c_1cos(2kx)+c_2sen(2kx)+x/2sen(kx)$
La prima parte è completa o devo determinare in qualche modo $k$?
Per quanto riguarda la seconda parte non so proprio da dove cominciare. Il mio ragionamento fatto sopra è giusto? Qualcuno può darmi dei chiarimenti in merito?
Grazie!
Risposte
La prima parte mi sembra corretta e anche svolta bene (nel senso che hai seguito tutti i passi senza saltare di palo in frasca). Per la seconda, la tua intuizione iniziale è corretta: hai trovato una soluzione generale $y(x)$, calcola quel limite e vedi in quali casi (a seconda della scelta di $A, B$ ed, eventualmente, di $k$) tale limite possa venire $1$. (HINT: ci sono due limiti notevoli standard da poter usare).
Riguardando l'esercizio mi sorge un dubbio.
In $y_p=x(Acos(kx)+Bsen(kx))$
non è che bisogna derivare anche $k$? visto che nel testo dell'esercizio dice al variare di k quindi non è una costante?
In $y_p=x(Acos(kx)+Bsen(kx))$
non è che bisogna derivare anche $k$? visto che nel testo dell'esercizio dice al variare di k quindi non è una costante?
No, il senso "al variare di $k$" è: a seconda dei valori che, di volta in volta, $k$ assume come costante. Il concetto è: dipendente come parametro, non come variabile.
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