Equazione differenziale a variabili separate..

[lattore]

mi potete aiutare con questa equazione differenziale a $y^{\prime}=y^4+1=>y^{\prime}/y^4=1$ risolvendo $int_(0)^(x)y^{\prime}/y^4dx=int_(0)^(x)1dx=int_(0)^(y(x))dy/y^4=x=>-1/y^3=x=>y^3=-1/x$ giusto?

[billyballo2123]

C'è un errore
Non è vero che $y'=y^4+1\Rightarrow {y'}/{y^4}=1$. Direi piuttosto che
\[
y'=y^4+1\Rightarrow \frac{y'}{y^4+1}=1
\]

[anto_zoolander]

Avevi postato la medesima domanda quì. Ottenendo il medesimo consiglio.

Ti posto la soluzione dettagliatamente, così ti rendi un po' conto che la situazione non è semplice come la fai.
Hai postato molte equazioni differenziali e integrali, ottenendo risposta ma senza considerarle. Ti consiglio ancora una volta di ripassare un po' di teoria prima di cimentarti in determinati esercizi. Perché gli integrali e le equazioni differenziali non sono 'meccanici' come possono esserlo le derivate.

data l'equazione: $y'=y^4+1$
possiamo subito notare che $y^4+1$ non si annulla mai sull'insieme dei reali, quindi possiamo tranquillamente dividere ambo i membri per $y^4+1$ senza che succeda nulla di inaspettato.

$(y')/(y^4+1)=1$

integrando adesso ambo i membri nella variabile $x$
e considerando $y=f(x)$ otteniamo:

$int(f'(x))/(f(x)^4+1)dx=int1dx$



applicando la sostituzione $f(x)=u <=> f'(x)dx=du$ otteniamo:

$int1/(u^4+1)du=x+c$

volendo può anche essere trattata come una semplice equazione a variabili separabili:

$((dy)/(dx))/(y^4+1)=1 <=> (dy)/(y^4+1)=1*dx$

ottenendo $int1/(y^4+1)dy=int1dx$

nota che otteniamo praticamente la stessa cosa..

adesso dobbiamo riuscire a ottenere qualcosa. Se avessimo un $(2y)$ libero potremmo considerare il denominatore come $1+(y^2)^2$ e uscircene facilmente con l'integrale immediato $arctan(f(x))$ ma così non è. Notiamo che è possibile procedere per fratti semplici, applicando una semplice manipolazione algebrica.

$1+u^4=1+2u^2+u^4-2u^2=(u^2+1)^2-2u^2$

ora ricordando $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)..$

$1+u^4=(u^2-usqrt2+1)(u^2+usqrt2+1)$

praticamente dobbiamo risolvere la seguente identità:

$1/((u^2-usqrt2+1)(u^2+usqrt2+1))=(Au+B)/(u^2-usqrt2+1)+(Cu+D)/(u^2+usqrt2+1)$

questi passaggi algebrici lascio a te il piacere di farli e ti posto direttamente la soluzione del sistema, da cui ricavo i coefficienti $A,B,C,D$

${(A=-1/(2sqrt2)),(B=1/2),(C=1/(2sqrt2)),(D=1/2):}$ questi sono i coefficienti.

$(-1/(2sqrt2)u+1/2)/(u^2-usqrt2+1)+(1/(2sqrt2)u+1/2)/(u^2+usqrt2+1)$

nota che stiamo sempre considerando l'integrale, quindi siamo nella situazione:

$x+c=1/(2sqrt2)int[(u+sqrt2)/(u^2+usqrt2+1)-(u-sqrt2)/(u^2-usqrt2+1)]du$

ora quì non ci vuole molto a notare che in ballo ci sono $arctan$ di qualcosa e $log$ di qualche altra cosa. Diciamo che già ad occhio si nota, ma per renderlo più evidente, basta sistemare una costante e dividere i numeratori in questo modo:

$x+c=1/(4sqrt2)int[(2u+2sqrt2)/(u^2+usqrt2+1)-(2u-2sqrt2)/(u^2-usqrt2+1)]du$

$x+c=1/(4sqrt2)int[(2u+sqrt2)/(u^2+usqrt2+1)+(sqrt2)/(u^2+usqrt2+1)-(2u-sqrt2)/(u^2-usqrt2+1)+sqrt2/(u^2-usqrt2+1)]du$

già i logaritmi sono lì palesi palesi, risolviamoli:

$x+c=1/(4sqrt2)[log((u^2+usqrt2+1)/(u^2-usqrt2+1))+int((sqrt2)/(u^2+usqrt2+1)+sqrt2/(u^2-usqrt2+1))du]$

nota che i logaritmi sarebbero venuti $log(f(x))-log(g(x))$ e infatti per la proprietà dei logaritmi li ho uniti direttamente scrivendoli come $log((f(x))/(g(x)))$

ora mi piacerebbe che $(u^2pmusqrt2+1)$ fosse un quadrato perfetto sommato a qualcosa.
Puoi ragionare così:

quel polinomio $P(u)$ descrive una parabola. Quando possiamo scrivere una parabola come un quadrato perfetto? sostanzialmente quando $Delta=0$ ovvero quando il $V_y$ della parabola si trova sull'asse delle ascisse.

$Delta=(sqrt2)^2-4=-2=> Vy=2/4=1/2$

per scendere la parabola, basta togliere $1/2$ ... $P(u)-1/2=u^2pmusqrt2+1/2$

è facile ora notare che $P(u)-1/2=(u)^2pmu*2(1*(sqrt2)/2)+(sqrt2/2)^2$

quindi infine $P(u)=(upm(sqrt2)/2)^2+1/2$

Ora $P(u)=1/2[((upm(sqrt2)/2)/(1/sqrt2))^2+1]=1/2[(usqrt2pm1)^2+1]$

tornando all'integrale...

$x+c=1/(4sqrt2)[log((u^2+usqrt2+1)/(u^2-usqrt2+1))+int((sqrt2)/(1/2(usqrt2+1)^2+1)+(2sqrt2)/(1/2(usqrt2-1)^2+1))du]$

$x+c=1/(4sqrt2)[log((u^2+usqrt2+1)/(u^2-usqrt2+1))+2int((sqrt2)/(1+(usqrt2+1)^2)+(sqrt2)/(1+(usqrt2-1)^2))du]$

è spuntato il nostro integrale immediato dell'arcotangente.. infatti sostanzialmente abbiamo la derivata dell'arcotangente moltiplicata per $sqrt2$ che è la derivata di $usqrt2pm1$ quindi calza a pennello.

$x=1/(4sqrt2)[log((u^2+usqrt2+1)/(u^2-usqrt2+1))+2arctan(usqrt2+1)+2arctan(usqrt2-1)]+c$

nota che non abbiamo ricavato la funziona, ma la funzione inversa, che è possibile scriverla come:

$f^(-1)(y)=1/(4sqrt2)[log((y^2+ysqrt2+1)/(y^2-ysqrt2+1))+2arctan(ysqrt2+1)+2arctan(ysqrt2-1)]+c$

intanto notiamo che continua a valere quanto detto all'inizio, ovvero $yinRR$ ora dovremmo spendere qualche parolina su questa espressione, perché chi ci assicura che quella sia di fatto una funzione? Essendo una funzione inversa dobbiamo $f(x)$ dovrebbe essere invertibile, ma su $f(x)$ non abbiamo alcuna informazione.
Ci sarebbero delle condizioni che ci porterebbero a dire che è una funzione, ma devo scappare adesso. Con questo voglio farti che ogni passaggio deve avere un senso, e sapere cosa stai facendo alla lunga può esserti soltanto d'aiuto.