Equazione differenziale a variabili separabili
Buonasera, ho difficoltà a risolvere questo esercizio:
{y'=(y^2+2y-3)/(y+1) x cos(x^2), y(0)=2
E' evidentemente un'equazione differenziale a variabili separabili, dove considero h(x)=x cos(x^2) e g(y)=(y^2+2y-3)/(y+1).
La prima soluzione particolare sarà per g(y)=0, da cui ottengo y=1 e y=-3.
Se g(y) è diverso da 0, dividendo ambo i membri per g(y) e considerando y'=dy/dx, posso integrare immediatamente, ottenendo 1/2 ln|y^2+2y-3|=1/2 sin(x^2). A questo punto mi blocco e non riesco ad andare avanti, riuscite ad aiutarmi? Grazie mille anticipatamente!
{y'=(y^2+2y-3)/(y+1) x cos(x^2), y(0)=2
E' evidentemente un'equazione differenziale a variabili separabili, dove considero h(x)=x cos(x^2) e g(y)=(y^2+2y-3)/(y+1).
La prima soluzione particolare sarà per g(y)=0, da cui ottengo y=1 e y=-3.
Se g(y) è diverso da 0, dividendo ambo i membri per g(y) e considerando y'=dy/dx, posso integrare immediatamente, ottenendo 1/2 ln|y^2+2y-3|=1/2 sin(x^2). A questo punto mi blocco e non riesco ad andare avanti, riuscite ad aiutarmi? Grazie mille anticipatamente!
Risposte
Hai dimenticato di aggiungere la costante arbitraria:
Prendendo l'esponenziale di entrambi i membri:
La costante C si determina imponendo la condizione iniziale y(0)=2, quindi C=5
La soluzione finale e`:
[math]\frac{1}{2}\log(y^2+2y-3)=\frac{1}{2}\sin x^2+cost[/math]
Prendendo l'esponenziale di entrambi i membri:
[math]y^2+2y-3=C\,e^{\sin x^2}[/math]
La costante C si determina imponendo la condizione iniziale y(0)=2, quindi C=5
La soluzione finale e`:
[math]y^2+2y-3=5\,e^{\sin x^2}[/math]
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