Equazione differenziale a variabili separabili

[smaug1]

Scusate la domanda banale, ma data:

$y'(x) = x / (y(x)) $ come faccio a metterla nella forma $(y'(x) )/ (y(x)) = x$ grazie ragazzi...poi dovrei integrare...

[gugo82]

Infatti non è possibile metterla in quella forma...

Ragiona sul problema, non fare passaggi a memoria.

[smaug1]

Allora sto cercando una funzione $y(x)$ la cui derivata prima sia uguale al rapporto tra $x$ e la funzione che sto trovando. Non so cosa andare a guardare nello specifico...

[smaug1]

oppure posso scrivere $y'(x) y(x) = x$ e dire $\int y'(x) y(x) = \int x$ mi ricorda che so $e^{f(x)} f'(x)$...ma poi?

[smaug1]

forse ci sono da ciò che ho scritto posso dire che $\int y'(x) = y(x)$ e quindi $y^2(x) = x^2 / 2$ e allora:

$y(x) = \sqrt{x^2 / (2) + c}$ ?

[gugo82]

L'equazione la metti nella forma:
\[
y(x)\ y^\prime (x)=x
\]
ed integri m.a.m. per ottenere:
\[
\frac{1}{2}\ y^2(x)=\frac{1}{2}\ x^2+c
\]
da cui:
\[
y^2(x)=x^2+C\; .
\]
Ora devi solo eplicitare, con attenzione, per ricavare l'integrale generale.

[smaug1]

grazie mile gugo, vorrei chiederti qualche cosa, come ci si arriva al fatto che $\int y(x) y'(x) = 1/2 y^2(x)$ senza vedere un caso particolare, un esempio...quando moltiplichi tutto per $2$ alla fine, $2c = C$ perchè non interessa?

Mi verrebbe da dire

$y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C}$

[smaug1]

Gugo per esempio:

$y'(x) = \frac{2}{xy(x)} -> \int y'(x) y(x) = \int 2/x -> (1/2) y^2(x) = (2 \log x + c) -> y(x) = \pm \sqrt{4 \log x + c} $

Funziona così?

Graziee