Equazione differenziale a variabili separabili
Scusate la domanda banale, ma data:
$y'(x) = x / (y(x)) $ come faccio a metterla nella forma $(y'(x) )/ (y(x)) = x$ grazie ragazzi...poi dovrei integrare...
$y'(x) = x / (y(x)) $ come faccio a metterla nella forma $(y'(x) )/ (y(x)) = x$ grazie ragazzi...poi dovrei integrare...
Risposte
Infatti non è possibile metterla in quella forma...
Ragiona sul problema, non fare passaggi a memoria.
Ragiona sul problema, non fare passaggi a memoria.
Allora sto cercando una funzione $y(x)$ la cui derivata prima sia uguale al rapporto tra $x$ e la funzione che sto trovando. Non so cosa andare a guardare nello specifico...
oppure posso scrivere $y'(x) y(x) = x$ e dire $\int y'(x) y(x) = \int x$ mi ricorda che so $e^{f(x)} f'(x)$...ma poi?
forse ci sono da ciò che ho scritto posso dire che $\int y'(x) = y(x)$ e quindi $y^2(x) = x^2 / 2$ e allora:
$y(x) = \sqrt{x^2 / (2) + c}$ ?
$y(x) = \sqrt{x^2 / (2) + c}$ ?
L'equazione la metti nella forma:
\[
y(x)\ y^\prime (x)=x
\]
ed integri m.a.m. per ottenere:
\[
\frac{1}{2}\ y^2(x)=\frac{1}{2}\ x^2+c
\]
da cui:
\[
y^2(x)=x^2+C\; .
\]
Ora devi solo eplicitare, con attenzione, per ricavare l'integrale generale.
\[
y(x)\ y^\prime (x)=x
\]
ed integri m.a.m. per ottenere:
\[
\frac{1}{2}\ y^2(x)=\frac{1}{2}\ x^2+c
\]
da cui:
\[
y^2(x)=x^2+C\; .
\]
Ora devi solo eplicitare, con attenzione, per ricavare l'integrale generale.
grazie mile gugo, vorrei chiederti qualche cosa, come ci si arriva al fatto che $\int y(x) y'(x) = 1/2 y^2(x)$ senza vedere un caso particolare, un esempio...quando moltiplichi tutto per $2$ alla fine, $2c = C$ perchè non interessa?
Mi verrebbe da dire
$y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C}$
Mi verrebbe da dire
$y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C}$
Gugo per esempio:
$y'(x) = \frac{2}{xy(x)} -> \int y'(x) y(x) = \int 2/x -> (1/2) y^2(x) = (2 \log x + c) -> y(x) = \pm \sqrt{4 \log x + c} $
Funziona così?
Graziee
$y'(x) = \frac{2}{xy(x)} -> \int y'(x) y(x) = \int 2/x -> (1/2) y^2(x) = (2 \log x + c) -> y(x) = \pm \sqrt{4 \log x + c} $
Funziona così?

Graziee