Equazione differenziale a variabili separabili
Ragazzi potete controllare se il risultato è giusto? 
$ y'=(y^4+1)/(4y(x^2+1) $
$ y(3^(1/3))=1 $
mi esce
$ y=(tan(arctanx/2+pi/12))^(1/2) $
in
$ (-1/(3)^(1/3),tan(5/6 pi)) $
dovrebbe essere giusta almeno la soluzione..il dominio non sono sicurissimo!
$ y'=(y^4+1)/(4y(x^2+1) $
$ y(3^(1/3))=1 $
mi esce
$ y=(tan(arctanx/2+pi/12))^(1/2) $
in
$ (-1/(3)^(1/3),tan(5/6 pi)) $
dovrebbe essere giusta almeno la soluzione..il dominio non sono sicurissimo!
Risposte
Probabilmente adesso uscirà una mia grossa lacuna...
Allora io avrei risolto così:
[tex]$\int\frac{4ydy}{y^{2}+1}=2\log(y^{2}+1)$[/tex]
e
[tex]$\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan(x)$[/tex]
Uguagliando otteniamo
[tex]$2\log(y^{2}+1)=\arctan(x)+c$[/tex]
Come hai esplicitato la [tex]$y$[/tex]?
Scusa l'ignoranza...
Allora io avrei risolto così:
[tex]$\int\frac{4ydy}{y^{2}+1}=2\log(y^{2}+1)$[/tex]
e
[tex]$\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan(x)$[/tex]
Uguagliando otteniamo
[tex]$2\log(y^{2}+1)=\arctan(x)+c$[/tex]
Come hai esplicitato la [tex]$y$[/tex]?
Scusa l'ignoranza...
Ok, scusa avevo sbagliato ad integrare:
[tex]$\int\frac{4ydy}{y^{4}+1}=2\arctan(y^{2})$[/tex]
[tex]$\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan(x)$[/tex]
Quindi
[tex]$2\arctan(y^{2})=\arctan(x)+c$[/tex]
e
[tex]$\arctan(y^{2})=\frac{\arctan(x)+c}{2}$[/tex]
[tex]$y=\pm\sqrt{\tan(\frac{\arctan(x)+c}{2})}$[/tex]
Come ti esce [tex]$c=\pi/6$[/tex]? Non è che intendevi [tex]$y(\frac{\sqrt{3}}{3})=1$[/tex]?
In tal caso a me verrebbe
[tex]$y=\sqrt{\tan(\frac{\arctan(x)+\frac{\pi}{3}}{2})}$[/tex]
[tex]$\int\frac{4ydy}{y^{4}+1}=2\arctan(y^{2})$[/tex]
[tex]$\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan(x)$[/tex]
Quindi
[tex]$2\arctan(y^{2})=\arctan(x)+c$[/tex]
e
[tex]$\arctan(y^{2})=\frac{\arctan(x)+c}{2}$[/tex]
[tex]$y=\pm\sqrt{\tan(\frac{\arctan(x)+c}{2})}$[/tex]
Come ti esce [tex]$c=\pi/6$[/tex]? Non è che intendevi [tex]$y(\frac{\sqrt{3}}{3})=1$[/tex]?
In tal caso a me verrebbe
[tex]$y=\sqrt{\tan(\frac{\arctan(x)+\frac{\pi}{3}}{2})}$[/tex]
adesso non ho sottomano l'esercizio, però se sostituisci $ 3^(1/3)$ alla tua soluzione non esce $y=1$! dovrebbe no?
Infatti secondo me la condizione era [tex]$y(\sqrt{3}/2)=1$[/tex]. Infatti se sostituisci [tex]$3^{\frac{1}{3}}$[/tex] alla tua soluzione non ottieni $1$ mentre sostituendo [tex]$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$[/tex] alla mia soluzione viene.
ma $y=tan(arctan(3^(1/3))/2+pi/12)$ = $arctan(60/2+15)$= $arctan(45)$ = 1..la cui radice è 1 
"giannitwo":
ma $y=tan(arctan(3^(1/3))/2+pi/12)$ = $arctan(60/2+15)$= $arctan(45)$ = 1..la cui radice è 1
Scusa ma non capisco che calcolo hai fatto. Quanto ti viene per esempio [tex]$\arctan(3^{\frac{1}{3}})$[/tex]?
perdono!!!!!!!! $y(3^(1/2))=1$ è la condizione iniziale! tutta questa matematica mi sta mandando in fumo!
ricapitolando ho rifatto l'esercizio che è:
$y'=(y^4+1)/(4y(x^2+1))$
$y(3^(1/2))=1$
esce:
$y=(tan(arctan(x)/2+pi/12))^(1/2)$
$x in RR - {tan( 5pi/6)}$
sostituendo
nella soluzione $x=3^(1/2)$ esce $y=1$ ù
mentre sostituendo $x=tan(5pi/6)$ esce non definita!
$y'=(y^4+1)/(4y(x^2+1))$
$y(3^(1/2))=1$
esce:
$y=(tan(arctan(x)/2+pi/12))^(1/2)$
$x in RR - {tan( 5pi/6)}$
sostituendo
nella soluzione $x=3^(1/2)$ esce $y=1$ ù
mentre sostituendo $x=tan(5pi/6)$ esce non definita!
Tu dici che la soluizone è definita su $x in RR - {tan( 5pi/6)}$
Questo è sbagliato, attenzione!
La soluzione di un problema di Cauchy è definita su un intervallo.
Questo è sbagliato, attenzione!
La soluzione di un problema di Cauchy è definita su un intervallo.
aia..e allora come devo dire? 
"giannitwo":Secondo te?
aia..e allora come devo dire?
posto un pò di passaggi..dopo aver integrato mi esce:
$2arctan(y^2)-pi/2=arctan(x)-pi/3$
$arctan(y^2)=arctan(x)/2+pi/12$
perchè la soluzione deve essere positiva e devo applicare la tangente (definita in $(-pi/2,pi/2)$)
devo avere
$0
$arctan(x)> -pi/6 --> x>tan(-pi/6)$
$arctan(x)/2arctan(x)<10pi/12=5pi/6 --> x
$2arctan(y^2)-pi/2=arctan(x)-pi/3$
$arctan(y^2)=arctan(x)/2+pi/12$
perchè la soluzione deve essere positiva e devo applicare la tangente (definita in $(-pi/2,pi/2)$)
devo avere
$0
$arctan(x)> -pi/6 --> x>tan(-pi/6)$
$arctan(x)/2
Abbi pazienza, ma cosa è 'sta sbrodolatura di formule? "posto un po' di passaggi"... Mi sembra di essere al mercato, con un venditore che mi apostrofi così: "signo', vuole tre etti di passaggi? So' belli freschi!"
In questo modo non vai da nessuna parte.
Non sei in grado di fare i passaggi uno alla volta giustificando accuratamente quello che fai? Ogni passaggio, intendo (magari puoi abbonarti i puri calcoletti...)
- se sì, non hai bisogno di una mia risposta
- se no, segno che hai idee confuse su qualcosa e sarà quello da chiarire. Ma prima di tutto tu devi scoprire dove non hai le idee chiare
In questo modo non vai da nessuna parte.
Non sei in grado di fare i passaggi uno alla volta giustificando accuratamente quello che fai? Ogni passaggio, intendo (magari puoi abbonarti i puri calcoletti...)
- se sì, non hai bisogno di una mia risposta
- se no, segno che hai idee confuse su qualcosa e sarà quello da chiarire. Ma prima di tutto tu devi scoprire dove non hai le idee chiare
sinceramente credo di aver giustificato quello che ho scritto, magari potevo evitare di scendere nei particolare nelle penultime due righe di passaggi, certamente se ho aperto questo topic qualche problema ce l'ho, sennò non perderei tempo a scrivere avendo ben altro da fare, quindi certo che ho bisogno di una risposta! Questo esercizio non mi torna applicando il ragionamento che applico anche agli altri esercizi, e non capisco perchè, semplicemente mi servirebbe una mano, magari c'è qualcosa che non vedo!
in ogni caso ho ricontrollato e sono arrivato alla conclusione
che la condizione
$ arctan(x)<5pi/6 $
è sempre verificata perchè l'arcotangente ha come immagine $ (-pi/2,pi/2)$ e $5pi/6>pi/2$
e quindi
l'intervallo in cui è definita la soluzione è
$(tan(-pi/6),+oo)$
che la condizione
$ arctan(x)<5pi/6 $
è sempre verificata perchè l'arcotangente ha come immagine $ (-pi/2,pi/2)$ e $5pi/6>pi/2$
e quindi
l'intervallo in cui è definita la soluzione è
$(tan(-pi/6),+oo)$
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