Equazione differenziale a variabili separabili
Ho questo problema di Cauchy:
$ y'=x e^(3y) $
$ y(0)=-1 $
non riesco a trovare una soluzione.. a un certo punto mi esce che dovrebbe essere
$ x^2<-e^6/e^3 2/3 $
cioè impossibile...
e poi..cosa si intende per dominio della soluzione massimale? il dominio massimo per cui ha senso la soluzione?
$ y'=x e^(3y) $
$ y(0)=-1 $
non riesco a trovare una soluzione.. a un certo punto mi esce che dovrebbe essere
$ x^2<-e^6/e^3 2/3 $
cioè impossibile...
e poi..cosa si intende per dominio della soluzione massimale? il dominio massimo per cui ha senso la soluzione?
Risposte
Mi sto chiedendo come ti venga fuori quella condizione riguardo $x^2$. Potresti postare i passaggi? Comunque il dominio della soluzione massimale è, dalla teoria, il dominio più grande su cui è definita la soluzione dell'equazione a patto di soddisfare la condizione iniziale.
$ int_(-1)^(y) 1/e^(3t) dt= int_(0)^(x) s ds $
$ -e^(-3y)/3 -e^3/3=x^2/2 $
$ e^y=-e^6-3/2 e^3 x^2 $
ora per applicare il logaritmo devo avere
$ -e^6-3/2 e^3 x^2 >0 $
e quindi
$ x^2<-e^3 2/3 $
quindi..per come ho fatto io, giusto o sbagliato che sia, il dom massimale sarebbe quello in cui ha senso applicare il logaritmo cioè dove $ -e^6-3/2 e^3 x^2 >0 $?
$ -e^(-3y)/3 -e^3/3=x^2/2 $
$ e^y=-e^6-3/2 e^3 x^2 $
ora per applicare il logaritmo devo avere
$ -e^6-3/2 e^3 x^2 >0 $
e quindi
$ x^2<-e^3 2/3 $
quindi..per come ho fatto io, giusto o sbagliato che sia, il dom massimale sarebbe quello in cui ha senso applicare il logaritmo cioè dove $ -e^6-3/2 e^3 x^2 >0 $?
Trovato l'errore: la seconda riga è
[tex]$-\frac{e^{-3y}}{3}+\frac{e^3}{3}=\frac{x^2}{2}$[/tex]
e quindi
[tex]$e^{-3y}=e^3-\frac{3x^2}{2}\ \Rightarrow\ y(x)=-\frac{1}{3}\log\left(e^3-\frac{3x^2}{2}\right)$[/tex]
Il dominio risulta da [tex]$e^3-\frac{3x^2}{2}>0$[/tex] e quindi [tex]$(-e\sqrt{2e/3}, e\sqrt{2e/3})$[/tex]
[tex]$-\frac{e^{-3y}}{3}+\frac{e^3}{3}=\frac{x^2}{2}$[/tex]
e quindi
[tex]$e^{-3y}=e^3-\frac{3x^2}{2}\ \Rightarrow\ y(x)=-\frac{1}{3}\log\left(e^3-\frac{3x^2}{2}\right)$[/tex]
Il dominio risulta da [tex]$e^3-\frac{3x^2}{2}>0$[/tex] e quindi [tex]$(-e\sqrt{2e/3}, e\sqrt{2e/3})$[/tex]
grazie grazie mille! 
questa è un'altra equazione differenziale e voglio evitare di aprire un nuovo topic 
$ y'=(x^5)/( sen(y)) $
$ y(0)=pi/2 $
integro e mi viene fuori
$ -cos(y)=(x^6)/6 $
ora..perchè y assume un valore positivo e non può essere uguale a 0 (sennò $seny=0$) devo avere che $y>0$
per applicare l'arcocoseno inoltre devo essere in $[-1,1]$ e quindi
$-1<=-(x^6)/6<1$ da cui $ x<=6^(1/6)$
quindi quando sono in questo intervallo ho che la mia soluzione è
$y=arccos(-x/6)$
giusto?
e se avessi avuto $y(0)=-pi/2$ e quindi avessi dovuto imporre $y<0$
come mi sarei dovuto comportare? L'arcocoseno ha come immagine [0,pi] che è sempre >0..non l'avrei potuto applicare quindi?
$ y'=(x^5)/( sen(y)) $
$ y(0)=pi/2 $
integro e mi viene fuori
$ -cos(y)=(x^6)/6 $
ora..perchè y assume un valore positivo e non può essere uguale a 0 (sennò $seny=0$) devo avere che $y>0$
per applicare l'arcocoseno inoltre devo essere in $[-1,1]$ e quindi
$-1<=-(x^6)/6<1$ da cui $ x<=6^(1/6)$
quindi quando sono in questo intervallo ho che la mia soluzione è
$y=arccos(-x/6)$
giusto?
e se avessi avuto $y(0)=-pi/2$ e quindi avessi dovuto imporre $y<0$
come mi sarei dovuto comportare? L'arcocoseno ha come immagine [0,pi] che è sempre >0..non l'avrei potuto applicare quindi?
...lo trovi qui (è nella pagina citata nella mia "firma", dove si parla di urang-utang©):
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
Es 4 e, soprattutto, es. 5.
Ovviamente il problema non riguarda le equazioni differenziali, ma l'inversione delle funzioni trigonometriche (nei miei esempi, la funzione tangente).
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
Es 4 e, soprattutto, es. 5.
Ovviamente il problema non riguarda le equazioni differenziali, ma l'inversione delle funzioni trigonometriche (nei miei esempi, la funzione tangente).
Non so, ma secondo me l'intervallo di definizione è $-(6)^(1/6)<=x<=6^(1/6)$
$-1<=-(x^6)/6<1$
mi dà
$x<=(6)^(1/6)$
$x^6>-6$ quest'ultima sempre verificata
mi dà
$x<=(6)^(1/6)$
$x^6>-6$ quest'ultima sempre verificata
rettifico: hai ragione! mi dà
$-(6)^(1/6)<=x<=(6)^(1/6)$
$-(6)^(1/6)<=x<=(6)^(1/6)$
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