Equazione Differenziale a variabili separabili
Aiuto....sono alle prese con un'equazione differenziale a variabili separabili del tipo:
$ y'=(1-e^-y)(x^2-1) $
$ y(1)=ln(2) $ .
Io l'ho iniziata in questo modo:
Mi sono ritrovato i due integrali
$ int (1/(1-e^-y))dy $ = $ int (x^2-1 )dx $ che con le dovute operazioni e sostituzioni nel primo integrale mi fa trovare:
$ ln|1-e^y| $ = $ x^3/3 - x + c $
devo porre la condizione nel punto x=1 y=ln2
ora da qui non ne so uscire fuori!!!
Ho provato poi con un secondo metodo:
$ int (1/(1-e^-y))dy $ = $ int (1/(x^2-1))dx $ che sempre con i dovuti calcoli e le dovute sostituzione mi dà:
$ ln|1-e^y| $ = $ 1/2 (ln|1-x|-ln|x+1|)+c $ che può essere riscritta come: $ ln|1-e^y| = ln|(1-x)/(1+x)|^(1/2) + c $
da qui ottengo che: $ 1-e^y = ((1-x)/(1+x))^(1/2) + e^c $
poi $ e^y = 1 - ((1-x)/(1+x))^(1/2) - e^c $
e infine
$ y = ln|1- ((1-x)/(1+x))^(1/2) - e^c |$
con la condizione posta vediamo che : $ y(1): ln|1-0- e^c|=ln 2 $
e quindi in conclusione $ ln|1-e^c| = ln 2 $ ma poi non mi trovo più!
Aiutatemi!
$ y'=(1-e^-y)(x^2-1) $
$ y(1)=ln(2) $ .
Io l'ho iniziata in questo modo:
Mi sono ritrovato i due integrali
$ int (1/(1-e^-y))dy $ = $ int (x^2-1 )dx $ che con le dovute operazioni e sostituzioni nel primo integrale mi fa trovare:
$ ln|1-e^y| $ = $ x^3/3 - x + c $
devo porre la condizione nel punto x=1 y=ln2
ora da qui non ne so uscire fuori!!!
Ho provato poi con un secondo metodo:
$ int (1/(1-e^-y))dy $ = $ int (1/(x^2-1))dx $ che sempre con i dovuti calcoli e le dovute sostituzione mi dà:
$ ln|1-e^y| $ = $ 1/2 (ln|1-x|-ln|x+1|)+c $ che può essere riscritta come: $ ln|1-e^y| = ln|(1-x)/(1+x)|^(1/2) + c $
da qui ottengo che: $ 1-e^y = ((1-x)/(1+x))^(1/2) + e^c $
poi $ e^y = 1 - ((1-x)/(1+x))^(1/2) - e^c $
e infine
$ y = ln|1- ((1-x)/(1+x))^(1/2) - e^c |$
con la condizione posta vediamo che : $ y(1): ln|1-0- e^c|=ln 2 $
e quindi in conclusione $ ln|1-e^c| = ln 2 $ ma poi non mi trovo più!
Aiutatemi!
Risposte
Innanzitutto, visto che il secondo membro dell'equazione è localmente lipschitziano rispetto a [tex]$y$[/tex], il problema ha soluzione locale unica intorno a [tex]$1$[/tex].
Evidentamente [tex]$\bar{y}(x)=0$[/tex] è una soluzione dell'equazione intorno a [tex]$1$[/tex], però essa non soddisfa la condizione iniziale; possiamo quindi supporre la nostra soluzione [tex]$y(x)\neq 0$[/tex] intorno a [tex]$1$[/tex] (cosa che è garantita dalla continuità della soluzione e dal fatto che [tex]$y(1)=\ln 2>0$[/tex]).
Per trovare la soluzione del problema possiamo procedere dividendo m.a.m. per [tex]$1-e^{-y}$[/tex] ed integrando su un intervallo d'estremi [tex]$1$[/tex] ed [tex]$x$[/tex]: in tal modo si ottiene:
(*) [tex]$\int_1^x \frac{y^\prime (t)}{1-e^{-y(t)}}\ \text{d} t =\int_1^x (t^2-1)\ \text{d} t$[/tex];
se [tex]$x>1$[/tex], allora l'equazione dice che [tex]$y^\prime (x)>0$[/tex], quindi [tex]$y(x)$[/tex] è crescente e possiamo fare nel primo integrale di (*) la sostituzione [tex]$\tau =y(t)$[/tex], di modo che la precedente uguaglianza diviene:
[tex]$\int_{\ln 2}^{y(x)} \frac{1}{1-e^{-\tau}}\ \text{d} \tau =\left[ \frac{1}{3}\ t^3 -t\right]_1^x$[/tex]
ossia:
[tex]$\left[ \ln (e^{\tau}-1)\right]_{\ln 2}^{y(x)}=\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}$[/tex]
quindi:
[tex]\ln (e^{y(x)}-1)=\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}[/tex],
dalla quale si ricava immediatamente:
[tex]$e^{y(x)}=1+\exp \left( \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3} \right)$[/tex]
cioè:
(**) [tex]$y(x)= \ln \left( 1+\exp \left( \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3} \right) \right)$[/tex]
per [tex]$x\geq 1$[/tex].
D'altra parte se [tex]$x<1$[/tex] allora [tex]$y(x)$[/tex] è strettamente decrescente, quindi possiamo fare nel primo integrale di (*) la sostituzione [tex]$\tau =y(t)$[/tex], di modo che:
[tex]$\int_{\ln 2}^{y(x)} \frac{1}{1-e^{-\tau}}\ \text{d} \tau = \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}$[/tex],
e si vede che in tal modo si ritrova l'espressione (**) per la nostra soluzione anche per [tex]$x<1$[/tex].
Conseguentemente la soluzione del problema di Cauchy assegnato è la funzione definita ponendo:
[tex]$y(x)= \ln \left( 1+e^{\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}} \right)$[/tex].
P.S.: Una curiosità: è un esame di Analisi II a Napoli?
Evidentamente [tex]$\bar{y}(x)=0$[/tex] è una soluzione dell'equazione intorno a [tex]$1$[/tex], però essa non soddisfa la condizione iniziale; possiamo quindi supporre la nostra soluzione [tex]$y(x)\neq 0$[/tex] intorno a [tex]$1$[/tex] (cosa che è garantita dalla continuità della soluzione e dal fatto che [tex]$y(1)=\ln 2>0$[/tex]).
Per trovare la soluzione del problema possiamo procedere dividendo m.a.m. per [tex]$1-e^{-y}$[/tex] ed integrando su un intervallo d'estremi [tex]$1$[/tex] ed [tex]$x$[/tex]: in tal modo si ottiene:
(*) [tex]$\int_1^x \frac{y^\prime (t)}{1-e^{-y(t)}}\ \text{d} t =\int_1^x (t^2-1)\ \text{d} t$[/tex];
se [tex]$x>1$[/tex], allora l'equazione dice che [tex]$y^\prime (x)>0$[/tex], quindi [tex]$y(x)$[/tex] è crescente e possiamo fare nel primo integrale di (*) la sostituzione [tex]$\tau =y(t)$[/tex], di modo che la precedente uguaglianza diviene:
[tex]$\int_{\ln 2}^{y(x)} \frac{1}{1-e^{-\tau}}\ \text{d} \tau =\left[ \frac{1}{3}\ t^3 -t\right]_1^x$[/tex]
ossia:
[tex]$\left[ \ln (e^{\tau}-1)\right]_{\ln 2}^{y(x)}=\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}$[/tex]
quindi:
[tex]\ln (e^{y(x)}-1)=\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}[/tex],
dalla quale si ricava immediatamente:
[tex]$e^{y(x)}=1+\exp \left( \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3} \right)$[/tex]
cioè:
(**) [tex]$y(x)= \ln \left( 1+\exp \left( \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3} \right) \right)$[/tex]
per [tex]$x\geq 1$[/tex].
D'altra parte se [tex]$x<1$[/tex] allora [tex]$y(x)$[/tex] è strettamente decrescente, quindi possiamo fare nel primo integrale di (*) la sostituzione [tex]$\tau =y(t)$[/tex], di modo che:
[tex]$\int_{\ln 2}^{y(x)} \frac{1}{1-e^{-\tau}}\ \text{d} \tau = \frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}$[/tex],
e si vede che in tal modo si ritrova l'espressione (**) per la nostra soluzione anche per [tex]$x<1$[/tex].
Conseguentemente la soluzione del problema di Cauchy assegnato è la funzione definita ponendo:
[tex]$y(x)= \ln \left( 1+e^{\frac{1}{3} x^3-x+\frac{2}{3}} \right)$[/tex].
P.S.: Una curiosità: è un esame di Analisi II a Napoli?
si è un esame di Analisi II della Federico II...ma non ho capito una cosa....la condizione y(1) = ln2 dove sta? e poi io devo semplicemente trovare la c
[OT]
urang-utang@ impera.
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urang-utang@ impera.
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"Kiko90":
si è un esame di Analisi II della Federico II...ma non ho capito una cosa....la condizione y(1) = ln2 dove sta? e poi io devo semplicemente trovare la c
Il teorema di sostituzione negli integrali che conosco io si basa sulla seguente uguaglianza (si suppone che [tex]$g:[a,b]\to \mathbb{R}$[/tex] sia una funzione invertibile e [tex]$C^1$[/tex]):
[tex]$\int_a^b f(g(t))\ g^\prime (t)\ \text{d} t \stackrel{\tau =g(t)}{=} \int_{g(a)}^{g(b)} f(\tau)\ \text{d} \tau$[/tex]...
Ora puoi indovinare anche da solo dove ho imposto la condizione [tex]$y(1)=\ln 2$[/tex].
Se non riesci ad indovinare, leggiti queste dispensine di Fioravante Patrone.
E salutami il dott. Nitsch quando lo vedi.
Certamente, ma per conto di chi lo saluterò?
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