Equazione differenziale a variabili separabili

[matteo_g1]

Ciao, ho parecchie lacune su come risolvere la seguente equazione differenziale:

$ f-(Q(t))/C=R*(dQ)/(dt) $

C, R ed f sono costanti.

Il libro dice che integra per separazione di variabili, ma non capisco come.
Mi date una mano ad impostarla?

Grazie!!

P.S. : solo a me in questi giorni non funziona correttamente l'inserimento della formula o anche a voi?

[pilloeffe]

Ciao matteo_g,

Beh, dopo qualche passaggio dovresti riuscire ad ottenere facilmente la forma seguente:

$\frac{dt}{RC} = \frac{dQ(t)}{Cf - Q(t)} $

che integrata porge

$Q(t) = c e^{-t/(RC)} + Cf $

Siccome poi $Q(0) = c + Cf $, se $Q(0) = 0 \implies c = - Cf $ ed in tal caso si ottiene:

$Q(t) = Cf(1 - e^{-t/(RC)}) $

"matteo_g":Grazie!!

Prego!

"matteo_g":P.S. : solo a me in questi giorni non funziona correttamente l'inserimento della formula o anche a voi?

Secondo me è perché c'è un po' di traffico...

[matteo_g1]

Grazie della risposta.
Facevo confusione nel credere che siccome Q(t) è in funzione del tempo, lo volevo integrare rispetto a dt e non a dQ.

Buona serata!

[pilloeffe]

"matteo_g":Grazie della risposta.

Prego.

"matteo_g":Facevo confusione nel credere che siccome Q(t) è in funzione del tempo, lo volevo integrare rispetto a dt e non a dQ.

In realtà è proprio così, perché sarebbe

$ - \int_{0}^t \frac{d\tau}{RC} = \int_{0}^t \frac{Q'(\tau)}{Q(\tau) - Cf} d\tau $

Per cui si ha:

$- \frac{t}{RC} = [ln(Q(\tau) - Cf)]_{0}^{t} = ln[Q(t) - Cf] - ln[Q(0) - Cf] $

Quindi si ha:

$e^{-t/(RC)} = \frac{Q(t) - Cf}{Q(0) - Cf} $

$ Q(t) - Cf = [Q(0) - Cf] e^{-t/(RC)} $

$ Q(t) = Cf + [Q(0) - Cf] e^{-t/(RC)} = Cf(1 - \frac{Cf - Q_0}{Cf} e^{-t/(RC)})$

avendo posto $Q_0 = Q(0) $. Chiaramente se $Q_0 = Q(0) = 0 $ si ritrova la soluzione che ti ho già scritto nel mio post precedente, dove mi sono lasciato prendere la mano perché avevo immaginato che il tuo libro di testo sottintendesse l'ormai famoso metodo urang-utang...

[matteo_g1]

Grazie mille!!