Equazione differenziale a variabili separabili

[eugeniocotardo]

Ciao a tutti,
ho un problema che si sta ripresentando spesso nella risoluzione delle equazioni differenziali (soprattutto di quelle a variabili separabili, almeno finora). So come svolgerle (almeno finora! ), ma qualcosa alla fine non mi torna.
Ad esempio, ho la seguente equazione:

$y'=\frac{2xy}{x^2-1}$

Riesco a proseguire coi calcoli e ad integrare ambo i membri in $dx$ e $dy$, cioé:

$\intdy/y = int\frac{2x}{x^2-1} dx$

che equivalgono a

$lny = ln(x^2-1) + c$

Qui inizia il mio dubbio: so che la soluzione (è scritta a lato dell'esercizio) deve essere $y=c(x^2-1)$, ma se io scrivo la costante additiva $c$ sottoforma di logaritmo, avrei:

$lny = ln(x^2-1) + lne^c$ , giusto?

Quindi ciò si tradurrebbe in:

$lny=ln[e^c(x^2-1)]$
$y=e^c(x^2-1)$

Come mai ottengo $e^c$ e non semplicemente $c$? Mi pare sia un'inezia, ma non sto riuscendo a venirne a capo, perché questo poi mi condizionerebbe un eventuale problema di Cauchy.

Grazie!

[eugeniocotardo]

Cioè, mi stai dicendo che mi sono scervellato due ore a fare calcoli su calcoli quando la risposta era così semplice???

Ma quindi in un problema di Cauchy la costante che determinerò sarà "funzione" di $e$? O comunque poi potrò tralasciare quest'informazione?

[eugeniocotardo]

Ok, ti ringrazio !