Equazione Differenziale a variabili separabili
Ciao, avrei bisogno di un aiuto nel seguente esercizio.
$ { ( y' = y^2 /(1+y^2) ),( y(0)=1 ):} $
Determinare la soluzione locale del seguente problema di Cauchy e stabilire l'insieme di definizione.
Essendo un equazione differenziale di primo grado a variabili separabile lo svolgo nel seguente modo:
$ int_()^() (1+y^2)/y^2 dy = int_()^() 1 dx $
L'integrale di destra è immediato ed è:
$ x + c $
Mentre l'integrale di sinistra lo spesso in due e ottengo:
$int_()^() 1/y^2 dy + int_()^()y^2/y^2 dy = -1/y + y + c $
Quindi il risultato finale che vado ad ottenere è:
$ -1/y + y = x + c $
Da questo punto in poi non riesco più ad andare avanti, qualcuno potrebbe aiutarmi?
$ { ( y' = y^2 /(1+y^2) ),( y(0)=1 ):} $
Determinare la soluzione locale del seguente problema di Cauchy e stabilire l'insieme di definizione.
Essendo un equazione differenziale di primo grado a variabili separabile lo svolgo nel seguente modo:
$ int_()^() (1+y^2)/y^2 dy = int_()^() 1 dx $
L'integrale di destra è immediato ed è:
$ x + c $
Mentre l'integrale di sinistra lo spesso in due e ottengo:
$int_()^() 1/y^2 dy + int_()^()y^2/y^2 dy = -1/y + y + c $
Quindi il risultato finale che vado ad ottenere è:
$ -1/y + y = x + c $
Da questo punto in poi non riesco più ad andare avanti, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
hai dimenticato di specificare quanto vale la funzione in zero. un modo comodo di risolvere i problemi di Cauchy comunque è quello di risolvere integrali definiti e non indefiniti. per cui dato il PdC :
$ { ( y'=f(y,x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $ quando vai a separare le variabili risolvi poi:
$ int_(y_0)^(y) du=int_(x_0)^(x)dt $
preliminarmente però devi studiare la soluzione locale (per poter separare le variabili)
$ { ( y'=f(y,x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $ quando vai a separare le variabili risolvi poi:
$ int_(y_0)^(y) du=int_(x_0)^(x)dt $
preliminarmente però devi studiare la soluzione locale (per poter separare le variabili)
"cooper":
hai dimenticato di specificare quanto vale la funzione in zero
Corretto,
Ma alla fine anche svolgendo i due integrali definito arrivo alla stessa soluzione, non riesco ad esplicitare la y e quindi non riesco a definire l'insieme di definizione
edit: guarda più giù per la soluzione
"cooper":
risolviamo: notiamo anzitutto che $y=0$ non è soluzione del problema di Cauchy. dividiamo e otteniamo
$ int_(1)^(y) (u^2+1)/u^2du=int_(0)^(x)dt $
$ -1/y+1=x rArr 1/y=1-x rArr y=1/(1-x) $
Potresti risolverlo con l'integrale indefinito mostrando tutti i passaggi?
l'integrale l'hai svolto correttamente, devi solo sostituire i valori della x(zero) e della y(uno) per calcolare la c.
ricaviamo $-1+1=0+c$ per cui $c=0$ risostituiamo e ritroviamo l'equazione del post precedente: $-1/y+y=x$ che porta a quella soluzione.
ricaviamo $-1+1=0+c$ per cui $c=0$ risostituiamo e ritroviamo l'equazione del post precedente: $-1/y+y=x$ che porta a quella soluzione.
"cooper":
l'equazione del post precedente: $-1/y+y=x$ che porta a quella soluzione.
Come arrivo da qua ad esplicitare la y e a trovare l'insieme di definizione?
anziutto mi scuso perchè ho sbagliato a calcolare l'integrale del prst precedente (lo cancello adesso). per risolvere basta moltiplicare ambo i membri per y e risolvere l'equazione di secondo grado.
$ y^2-xy-1=0 $
$ y_(1,2)=1/2(x+-sqrt(x^2+4)) $ ma una delle due soluzioni non va bene (quella col meno, non risolve il PdC).
Poi calcoli il dominio. in realtà il dominio puoi già capirlo all'inizio quando studi le soluzioni costanti. qui non ce ne sono quindi è $RR$. Come conferma la soluzione.
$ y^2-xy-1=0 $
$ y_(1,2)=1/2(x+-sqrt(x^2+4)) $ ma una delle due soluzioni non va bene (quella col meno, non risolve il PdC).
Poi calcoli il dominio. in realtà il dominio puoi già capirlo all'inizio quando studi le soluzioni costanti. qui non ce ne sono quindi è $RR$. Come conferma la soluzione.
"cooper":
in realtà il dominio puoi già capirlo all'inizio quando studi le soluzioni costanti. qui non ce ne sono quindi è $RR$. Come conferma la soluzione.
In che senso potevo capirlo già quando studiavo le soluzioni costanti? la soluzione costante non è $y' = 0 -> y=0$?
Salve,
non riesco a risolvere questo problema di Cauchy, potreste darmi una mano
y'=xy/(x^2-1)
y(2)=1
vorrei anche la verifica.
Grazie in anticipo.
non riesco a risolvere questo problema di Cauchy, potreste darmi una mano
y'=xy/(x^2-1)
y(2)=1
vorrei anche la verifica.
Grazie in anticipo.
"rmarotta97":
Salve,
non riesco a risolvere questo problema di Cauchy, potreste darmi una mano
y'=xy/(x^2-1)
y(2)=1
vorrei anche la verifica.
Grazie in anticipo.
Dovresti aprire un nuovo post e scrivere un tuo tentativo di risoluzione (usando i codici adatti per le espressioni)
più che dalle soluzioni costanti dalla forma dell'equazione differenziale e dove varia il coefficiente della x.
considera per esempio il PdC seguente:
$ { ( y'=(y^2-4y)/(x-2) ),( y(0)=0 ):} $
per cui $f(x,y) in (-oo, 2)uu(2,+oo) times RR$
la soluzione costante accettabile è 0, ed è l'unica soluzione del problema. l'intervallo massimale è $(-oo,2)$ perchè lì l'equazione ha senso e perchè lì vive la condizione iniziale $x_0=0$.
considera per esempio il PdC seguente:
$ { ( y'=(y^2-4y)/(x-2) ),( y(0)=0 ):} $
per cui $f(x,y) in (-oo, 2)uu(2,+oo) times RR$
la soluzione costante accettabile è 0, ed è l'unica soluzione del problema. l'intervallo massimale è $(-oo,2)$ perchè lì l'equazione ha senso e perchè lì vive la condizione iniziale $x_0=0$.
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