Equazione differenziale a variabili separabili
Ho questo problema di Cauchy:
$\{(y'=xsqrt(y-2)),(y(1)=1):}$
Comincio con il separarmi le variabili
$dy/dx=xsqrt(y-2)$
$dy/(y-2)=xdx$
$int dy/(y-2)=int xdx$
Da cui
$2sqrt(y-2)=1/2x^2+C$
$y-2=(1/4x^2+C/2)^2 = 1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2$
$y(x)=1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2+2$
Ora cerco il valore della costante tramite le condizioni iniziali, cioè deve essere $y(1)=1$
$1/16+1/4C+1/4C^2+2=1$
$1/16+1/4C+1/4C^2+1=0$
$1/4C^2+1/4C+17/16=0$
Ho le due radici $C_1=2i-1/2, C_2=-2i-1/2$
Ora quello che mi chiedo è in che modo devo usare queste due radici nella soluzione?
$\{(y'=xsqrt(y-2)),(y(1)=1):}$
Comincio con il separarmi le variabili
$dy/dx=xsqrt(y-2)$
$dy/(y-2)=xdx$
$int dy/(y-2)=int xdx$
Da cui
$2sqrt(y-2)=1/2x^2+C$
$y-2=(1/4x^2+C/2)^2 = 1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2$
$y(x)=1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2+2$
Ora cerco il valore della costante tramite le condizioni iniziali, cioè deve essere $y(1)=1$
$1/16+1/4C+1/4C^2+2=1$
$1/16+1/4C+1/4C^2+1=0$
$1/4C^2+1/4C+17/16=0$
Ho le due radici $C_1=2i-1/2, C_2=-2i-1/2$
Ora quello che mi chiedo è in che modo devo usare queste due radici nella soluzione?
Risposte
Nota che in $ y'=xsqrt(y-2) $ per y=1 viene $ sqrt(-1) $...il problema sembra mal posto...
"ostrogoto":
Nota che in $ y'=xsqrt(y-2) $ per y=1 viene $ sqrt(-1) $...il problema sembra mal posto...
eh si... direi anche io...
deve essere per forza $y>=2$ quindi la condizione iniziale non ha senso
$y(1)=1$ non si riferisce alla funzione e non alla derivata prima? O mi sono perso qualcosa?
In ogni caso, sostituendo nel testo ottieni $y'=x*sqrt(-1)$
Beh a me pare strano che la soluzione del PdC sia una funzione $y: RR \rightarrow CC$
Ma infatti la soluzione viene nei complessi. Però la mia domanda resta: se mi trovo due radici (complesse coniugate in questo caso) come le gestisco nel sostituirle nella soluzione generale? Nella soluzione generale avevo una costante lineare ed un'altra elevata al quadrato, posso attribuire ad una qualsiasi la prima soluzione e viceversa?
In pratica Wolfram da due soluzioni, una per ogni soluzione della costante $C$
$y(x)= 1/16 ((17+8 i)-(2+8 i) x^2+x^4)$
$y(x)=1/16 ((17-8 i)-(2-8 i) x^2+x^4)$
$y(x)= 1/16 ((17+8 i)-(2+8 i) x^2+x^4)$
$y(x)=1/16 ((17-8 i)-(2-8 i) x^2+x^4)$
Il Problema di Cauchy, se come al solito è relativo a funzioni reali di variabile reale, è mal posto: infatti il secondo membro della EDO, i.e. \(f(x,y):=x\sqrt{y-2}\), è definito in \(\Omega := \mathbb{R}\times [2,\infty[\) ed il punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,1)\) non appartiene ad \(\Omega\).
Perciò non ha senso andare a cercare una soluzione.
Molto probabilmente si tratta di errore di stampa/battitura... Da dov'è preso l'esercizio?
Perciò non ha senso andare a cercare una soluzione.
Molto probabilmente si tratta di errore di stampa/battitura... Da dov'è preso l'esercizio?
"gugo82":
Molto probabilmente si tratta di errore di stampa/battitura... Da dov'è preso l'esercizio?
Traccia di esame di analisi I presso la mia università
Allora propenderei per un errore di battitura... A meno che non abbiate parlato di funzioni polidrome analitiche di variabile complessa.
No, niente funzioni polidrome
Bene.
Allora, come esercizio, potresti provare a risolvere questo PdC:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= x\ \sqrt{\big| y(x) -2\big|} \\ y(1) &= 1\end{split}\right.
\]
Allora, come esercizio, potresti provare a risolvere questo PdC:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= x\ \sqrt{\big| y(x) -2\big|} \\ y(1) &= 1\end{split}\right.
\]
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