Equazione differenziale a variabili separabili

[Sk_Anonymous]

ciao

ho problemi nella comprensione di questa parte:



cosa intende per non unicità?

[ostrogoto1]

Considera un problema di Cauchy del tipo:
$ { ( y'=|y|^(1/2) ),( y(t_0)=0 ):} $

Una sua soluzione (banale) e' $ y=0 $. Una soluzione diversa da 0 dell'equazione differenziale e' quella del testo con C arbitrario:
$ { ( y(t)=-1/4(C-t)^2" "tin(-oo,C) ),( y(t)=0" "tin[C,+oo) ):} $ (1)

Ora per $ C=x_0 $ (1) diventa una soluzione del problema di Cauchy. Cosi' si hanno almeno due sue soluzioni distinte: quella nulla e la (1) con $ C=t_0 $.
In realta' poi si hanno infinite soluzioni per l'arbitrarieta' di C: preso qualunque C con $ C
P.S. In maniera elementare: la soluzione del P.C. non e' unica se esistono due soluzioni (due funzioni) che non sono uguali in tutti i punti del loro dominio.

[Sk_Anonymous]

ciao, grazie per la risposta non capisco perchè "preso qualunque C con C

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[ostrogoto1]

La (1) e' soluzione dell'equazione differenziale $ AA Cinmathbb(R) $ su tutto $ mathbb(R) $. Poi prendiamo un $ tilde(C)

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[Sk_Anonymous]

grazie ostrogoto, in linea di massima ho capito, occorre garantire il passaggio per il punto (la condizione iniziale) affinchè il pdC sia verificato.. però ancora non mi salta all'occhio perchè, per $ C < t_0$ e non, ad esempio, per $ C>t_0$, si abbia il passaggio per il punto $(t_0,0)$...forse è legato al fatto che la costante muta la concavità della soluzione $y(t)$?

[ostrogoto1]

Questo e' il plot della soluzione (1) con C=-3. (C arbitrario)
Ora e' chiaro che ogni problema di Cauchy con $ C Se ti pare ragiona pure fissando prima il punto della condizione di Cauchy e poi guarda se e' possibile farci passare la soluzione.

[ostrogoto1]

In dettaglio:

supponiamo che il punto della condizione di Cauchy sia A. Allora entrambe le soluzioni disegnate, S1 con il parametro C uguale all'ascissa del punto C1 e S2 con il parametro C uguale all'ascissa pari a C2 sono soluzioni, come evidentemente tutte le altre con C Se si provasse a prendere una soluzione con C>A (nel senso inteso sopra) allora questa non passerebbe per A: prova a traslare mentalmente verso destra oltre il punto A una delle due soluzioni e diventera' ovvio cio' che sto dicendo...(tra l'altro il termine C nell'espressione della soluzione serve proprio a traslare la soluzione lungo l'asse delle x! )