Equazione differenziale a variabili separabili
Salve mi sono imbattuto oggi in quest'esercizio: trovare integrale generale di:
Y' + y^3= x^2
Con i simboli di lienbitz la derivata si trasforma in dy/dx e cio mi permetterebbe di fare l'integrale se solo riuscissi a trasformsrlo in una forma opportuna..chi puó aiutarmi? Grazie in anticipo!!
Y' + y^3= x^2
Con i simboli di lienbitz la derivata si trasforma in dy/dx e cio mi permetterebbe di fare l'integrale se solo riuscissi a trasformsrlo in una forma opportuna..chi puó aiutarmi? Grazie in anticipo!!
Risposte
Sei sicuro di dover risolvere esplicitamente la EDO?
Non mi pare sia in una forma "nota"... O meglio, sembra un'equazione da integrare usando un fattore integrante, tecnica che non so se conosci, ma non mi pare che il fattore integrante si possa determinare agevolmente.
Sicuro che non manchi qualche termine?
Non mi pare sia in una forma "nota"... O meglio, sembra un'equazione da integrare usando un fattore integrante, tecnica che non so se conosci, ma non mi pare che il fattore integrante si possa determinare agevolmente.
Sicuro che non manchi qualche termine?
Si il testo mi dice addirittura di sviluppare al terzo ordine nello zero l'integrale generale di questa equazione dopo avermi dato i valori della derivata e della stessa in zero!
Scusa, lo scriveresti per bene il testo dell'esercizio?
Sviluppare fino al terzo ordine nello zero la soluzione di { y' + y^3 = X^2 ; y(0) = 0}... tutto qua!
Ahhhhhh, ecco! Allora non devi mica risolverla! 
Lo sviluppo al terzo ordine in $x=0$ è
$$y(x)=y(0)+y'(0)\cdot x+\frac{y''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{y''(0)}{6}\cdot x^3+o(x^3)$$
Ora, è facile calcolare
$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0-y^3(0)=0$$
Derivando due volte $y'=x^2-y^3$ si ha
$$y''=2x-3y^2 y',\qquad y'''=2-6y(y')^2-3y^2 y''$$
da cui
$$y''(0)=0-2\cdot 0\cdot 0=0,\qquad y'''=2-6\cdot 0\cdot 0-3\cdot 0\cdot 0=2$$
e quindi
$$y(x)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$
Quando si svolge un esercizio (e quando si chiede aiuto) sarebbe meglio postare il testo del problema e comprenderlo, prima di lanciarsi in mirabolanti esercizi di acrobazia al trapezio senza aver steso la rete sotto.
Lo sviluppo al terzo ordine in $x=0$ è$$y(x)=y(0)+y'(0)\cdot x+\frac{y''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{y''(0)}{6}\cdot x^3+o(x^3)$$
Ora, è facile calcolare
$$y(0)=0,\qquad y'(0)=0-y^3(0)=0$$
Derivando due volte $y'=x^2-y^3$ si ha
$$y''=2x-3y^2 y',\qquad y'''=2-6y(y')^2-3y^2 y''$$
da cui
$$y''(0)=0-2\cdot 0\cdot 0=0,\qquad y'''=2-6\cdot 0\cdot 0-3\cdot 0\cdot 0=2$$
e quindi
$$y(x)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$
Quando si svolge un esercizio (e quando si chiede aiuto) sarebbe meglio postare il testo del problema e comprenderlo, prima di lanciarsi in mirabolanti esercizi di acrobazia al trapezio senza aver steso la rete sotto.
"ciampax":
Quando si svolge un esercizio (e quando si chiede aiuto) sarebbe meglio postare il testo del problema e comprenderlo, prima di lanciarsi in mirabolanti esercizi di acrobazia al trapezio senza aver steso la rete sotto.
Che, tra le altre cose, è proprio ciò che lo staff consiglia vivamente di fare in questo fondamentale avviso.
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