Equazione differenziale a variabili separabili

[gcan]

$ 2y'+y^3=0 $
questa equazione la risolvo a variabili separabili ma facendo tutti i passaggi e arrivando a $ 1/y^2=2/3x-2c $
non riesco a trovare la costante c, sapendo che y(0)=1/8 .Inoltre il testo di questo esercizio dice che la soluzione del problema di cauchy è un opportuno intorno di x=0.
potete aiutarmi? grazie

[ciampax]

Tipica risoluzione con gli oranghi! Il modo giusto di procedere è scrivere quest

$\int_{1/8}^y -2/{s^3}\ ds=\int_0^x dt$

Da qui hai direttamente il valore della costante e riesci anche a capire dove risulta definita la funzione.

[Brancaleone1]

${ ( 2y'(x)=-y^3(x) ),( y(0)=1/8 ):}$

$=>-2int_(1/8)^y1/u^3du=int_0^xdt$

$[1/u^2]_(1/8)^y=[t]_0^x$

$1/y^2-64=x$

Come vedi, la tua $c$ "non la vedi" perché c'è una condizione iniziale: se non ci fosse stata, allora:

$2y'(x)=-y^3(x)$

$=>-2int1/y^3dy=int dx$

$1/y^2=x+c$

NB: se ora tu imponi la condizione iniziale $y(0)=1/8$ ottieni

$64=c$

$=>1/y^2=x+64$

che è la stessa soluzione trovata sopra.

[gcan]

Una cosa sola: la costante c con il più o con il meno e' uguale?

[ciampax]

La costante è arbitraria: che tu scriva $\pm c$ o $7c$ alla fine avrai sempre una generica $C$ da usare. Per cui segni e prodotti/somme con altre costanti note non sono influenti: puoi sempre sostituire tutto con una sola $c$.