Equazione differenziale a var. separabili con condizione iniziale

[robying1]

Salve,

sto svolgendo questo esercizio:

$ y'+(1+y^2)cosx=0 $

determinare le eventuali soluzioni che soddisfano la condizione:

$ y'(0)+2y(0)=0 $ .

Separo le variabili,integro ed ottengo

$ arctan y=-sin x $
da cui
$ y(x)=tan (-sin x) $

ma verificando la condizione imposta trovo

$ y'(0)+2y(0)=(-1)+2*0 !=0 $

Come devo impostare la condizione se non posso modificare il risultato?
Cosa ho sbagliato nel calcolo.

Grazie a chi mi può aiutare

[Nietzsche610]

Ciao!
Nello svolgimento dell'integrale hai dimenticato la costante di integrazione.

Considerata quella puoi risolvere tranquillamente il problema.

[gugo82]

Quando si affronta un problema è meglio riflettere, piuttosto che mettersi subito a fare conti...

Dalla EDO:
\[
y^\prime (x) + \big(1+y^2(x)\big)\ \cos x=0
\]
(che deve valere intorno a \(0\)) segue l'uguaglianza puntuale:
\[
\tag{1}
y^\prime (0) + 1+y^2(0)=0\; ;
\]
mettendo a sistema la (1) con la condizione (di Robin[nota]Si chiama condizione di Robin una qualsiasi condizione che prescriva il valore in un punto \(x_0\) di una specifica combinazione lineare di \(y(x)\) e della sua derivata prima \(y^\prime (x)\), cioé una condizione del tipo \(a y(x_0)+b y^\prime (x_0) =c\), con \(a,b,c\in \mathbb{R}\) ed \(a^2+b^2\neq 0\) (sicché \(a\) e \(b\) non sono contemporaneamente nulle).[/nota]) accoppiata alla EDO, cioé \(y^\prime (0)+2 y(0)=0\), si ottiene un sistema di secondo grado nelle incognite \(y(0)\) ed \(y^\prime (0)\):
\[
\begin{cases}
y^\prime (0) + 1+y^2(0)=0 \\
y^\prime (0)+2 y(0)=0
\end{cases}
\]
la cui risolvente quadratica è:
\[
\tag{2}
y^2 (0) - 2y(0)+1=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \big( y(0) - 1\big)^2 =0\; ;
\]
da (2) si ricava la condizione iniziale da imporre alla EDO per ottenere un comodissimo (e risolubilissimo) problema di Cauchy, cioé \(y(0)=1\).

Pertanto il tuo problema con condizione di Robin è del tutto equivalente al problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) + \big( 1+y^2(x)\big)\ \cos x=0\\
y(0)=1\; ,
\end{cases}
\]
che sai risolvere usando integrazione definita dopo aver preso le dovute precauzioni (i.e., dopo aver fatto un piccolo studio qualitativo).

[robying1]

"Gabriele.Sciaguato":Ciao!
Nello svolgimento dell'integrale hai dimenticato la costante di integrazione.

Non riesco comunque ad andare avanti

[robying1]

"gugo82":Quando si affronta un problema è meglio riflettere, piuttosto che mettersi subito a fare conti...

Grazie gugo82
Mi hai aperto un mondo
...e chi ci aveva pensato al sistema...

"gugo82":
"...la condizione (di Robin[nota]Si chiama condizione di Robin..."

"...si ricava la condizione iniziale da imporre alla EDO per ottenere un comodissimo (e risolubilissimo) problema di Cauchy, cioé \(y(0)=1\)."

Vediamo quindi se ho capito l'uso di questa condizione con altri testi che ho:

$ { ( y^{\prime}+y^2x=0 ),( y^{\prime}(1)+y(1)=0 ):} $
che diventa
$ { ( y^{\prime}(1)+y^2(1)=0 ),( y^{\prime}(1)+y(1)=0 ):} $
per poi arrivare a
$ y^2(1)-y(1)=0 $
dalla quale mi ricavo la condizione di Cauchy equivalente
$ y(1)=1 $
Giusto?

Mentre per l'esercizio:
$ { ( y^{\prime}+logx/y^2=0 ),( 3y^{\prime}(e)+y(e)=0 ):} $
ottengo
$ { ( y^{\prime}(e)+1/y^2(e)=0 ),( 3y^{\prime}(e)+y(e)=0 ):} $
per arrivare a
$ y^3(e)+1=0 $
da cui la condizione equivalente di Cauchy
$ y(e)=-1 $
Giusto?
Ho capito il procedimento?

[gugo82]

"robying":[quote="gugo82"]Quando si affronta un problema è meglio riflettere, piuttosto che mettersi subito a fare conti...

Grazie gugo82
Mi hai aperto un mondo [/quote]
E io che non riesco ad aprire una Simmenthal...

"robying":...e chi ci aveva pensato al sistema...

[quote="gugo82"]
"...la condizione (di Robin)..."

"...si ricava la condizione iniziale da imporre alla EDO per ottenere un comodissimo (e risolubilissimo) problema di Cauchy, cioé \(y(0)=1\)."

Vediamo quindi se ho capito l'uso di questa condizione con altri testi che ho:

$ { ( y^{\prime}+y^2x=0 ),( y^{\prime}(1)+y(1)=0 ):} $
che diventa
$ { ( y^{\prime}(1)+y^2(1)=0 ),( y^{\prime}(1)+y(1)=0 ):} $
per poi arrivare a
$ y^2(1)-y(1)=0 $
dalla quale mi ricavo la condizione di Cauchy equivalente
$ y(1)=1 $
Giusto?[/quote]
Lo spirito l'hai capito, ma nello svolgimento ti sei persa qualcosa...

Infatti, la risolvente quadratica del sistema:
\[
\begin{cases}
y^\prime (1)+y^2(1)=0\\
y^\prime (1)+y(1)=0
\end{cases}
\]
è \(y^2 (1)-y(1)=0\), la quale si riscrive \(y(1)\ \big( y(1)-1\big) =0\) ed ha due soluzioni reali, cioé \(0\) ed \(1\). Pertanto ci sono due valori di \(y(1)\) che puoi accoppiare come condizione iniziale alla tua EDO, ossia \(y(1)=1\) (già trovata) ed anche \(y(1)=0\).
Conseguentemente, la soluzione del tuo problema con condizioni di Robin:
\[
\tag{R}
\begin{cases}
y^\prime (x)+x\ y^2(x)=0\\
y^\prime (1)+y(1)=0
\end{cases}
\]
o risolve il problema di Cauchy:
\[
\tag{C1}
\begin{cases}
y^\prime (x)+x\ y^2(x)=0\\
y(1)=1
\end{cases}
\]
oppure risolve il problema di Cauchy:
\[
\tag{C2}
\begin{cases}
y^\prime (x)+x\ y^2(x)=0\\
y(1)=0\; ;
\end{cases}
\]
non ci sono altre possibilità.
Entrambi i PdC (C1) & (C2) hanno soluzione unica definita su tutto \(\mathbb{R}\) (le EDO soddisfano il teorema di esistenza ed unicità in grande), quindi il tuo problema (R) ha due sole soluzioni, cioé la funzione \(y_1(x)\) che risolve (C1) e la funzione \(y_2(x)\) che risolve (C2).

La funzione \(y_1(x)\) è quella definita ponendo \(y_1(x) = e^{-\frac{1}{2}\ x^2}\), come si vede separando le variabili e facendo i conti.
Mentre la funzione \(y_2(x)\) si trova senza nemmeno fare un conto: infatti, si vede subito che \(y_2(x)=0\) è la soluzione cercata.

"robying":Mentre per l'esercizio:
$ { ( y^{\prime}+logx/y^2=0 ),( 3y^{\prime}(e)+y(e)=0 ):} $
ottengo
$ { ( y^{\prime}(e)+1/y^2(e)=0 ),( 3y^{\prime}(e)+y(e)=0 ):} $
per arrivare a
$ y^3(e)+1=0 $
da cui la condizione equivalente di Cauchy
$ y(e)=-1 $
Giusto?

Qui mi pare tutto corretto.

"robying":Ho capito il procedimento?

Occhio, però, questo non è un "procedimento" (nel senso generale del termine), ma solo una piccola astuzia che si può usare in alcuni casi come questo.
Infatti, il fatto che nella EDO e nella condizione di Robin compaiano solo la funzione \(y(x)\) e la sua derivata \(y^\prime (x)\) fa sperare sia possibile determinare una condizione iniziale di Cauchy che semplifica il problema. Però questa speranza va a farsi friggere non appena hai una EDO d'ordine superiore ad \(1\).

Ad esempio, dalla EDO del problema:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x)-y(x)=0\\
y^\prime (0)+y(0)=0\\
y(\pi) = 0
\end{cases}
\]
non puoi ricavare informazioni utili a determinare nessuno dei tre numeri \(y (0)\), \(y^\prime (0)\) o \(y(\pi)\).

D'altro canto, che tale condizione si possa effettivamente ricavare dipende anche da come "giocano" i coefficienti della EDO e quelli della condizione di Robin. Se questi coefficienti non "giocano" bene, la condizoine iniziale di Cauchy non la puoi ricavare.

Ad esempio, al problema:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x)+x\ y(x)=0\\
y^\prime (1)+y(1)=0
\end{cases}
\]
non è possibile accoppiare alcuna condizione di Cauchy sensata, perché il sistema lineare che viene fuori sostituendo \(x=1\) nella EDO non ha unica soluzione.

Alla fine di questo discorso, una cosa vorrei ti sia chiara: quando fai esercizi, non ti focalizzare nel trovare un metodo, o un "procedimento".
Piuttosto, pensa a leggere ciò che hai davanti agli occhi ed a come puoi usare tutte le informazioni che ti vengono date.

[robying1]

"gugo82":

Lo spirito l'hai capito, ma nello svolgimento ti sei persa qualcosa...

Grazie.
In realtà avevo trovato tutto ma dubitavo del fatto che ci potessero essere 2 soluzioni entrambe corrette
Ora so che sarebbe comunque possibile (la matematica di fatto non è un'opinione...)

"gugo82":
Alla fine di questo discorso, una cosa vorrei ti sia chiara: quando fai esercizi, non ti focalizzare nel trovare un metodo, o un "procedimento".
Piuttosto, pensa a leggere ciò che hai davanti agli occhi ed a come puoi usare tutte le informazioni che ti vengono date.

Grazie, ci proverò...
Purtroppo le mie conoscenze sono mooooolto limitate ed anche la manualità con gli strumenti matematici in generale

Te ne porto subito un esempio con un'altra condizione iniziale che mi ha "turbato" un pò:

$ { ( y''-9y=e^(3x)-e^(-3x) ),( y(0)=0 ),( y^{\prime}(0)>0 ):} $
Immagina il mio terrore all'apparire del segno di "maggiore"...

trovo questa soluzione
$ y(x)=c_1e^(9x)+c_2+2/3xe^(9x)-e^(3x)/27+e^(-3x)/108-x/3 $
impongo le condizioni
$ { ( y(0)=0 ),( y^{\prime}(0)>0 ):} $
ottengo
$ c_1 > -7/324 $ e $ c_2=4/81 $
Nella risoluzione delle costanti $ c_1 e c_2 $ ho considerato $c_1=-7/324 $

Scrivendo poi la soluzione generale come
$ y(x)=-6/324 e^(9x)+4/81+2/3xe^(9x)-e^(3x)/27+e^(-3x)/108-x/3 $
considerando che -6/324>-7/324...ma così la soluzione risulta essere giusta?

[gugo82]

L'integrale generale della EDO non mi pare giusto. Controllalo.

***

Ad ogni modo, facciamo un discorso generale da cui si può evincere che, in generale, non tutti i tipi di condizione accoppiati ad una EDO riescono a determinare univocamente una soluzione della EDO stessa.
Perdonami la lunghezza del post... Il fatto è che la prendo un po' alla larga, con l'intento di farti capire come funzionano (anche geometricamente) le cose.

1. Diciamo che \(y(x;c_1,c_2)\) è l'integrale generale di una EDO lineare del secondo ordine, cui hai accoppiato delle condizioni di tipo unilaterale (cioé contenenti delle disuguaglianze):
\[
\tag{D}
\begin{cases}
y(x_0;c_1,c_2) \geq y_0\\
y^\prime (x_0;c_1,c_2) \geq y_1\; .
\end{cases}
\]

Dato che la tua EDO è lineare, allora il suo integrale generale \(y(x;c_1,c_2)\) è del tipo:
\[
\tag{1}
y(x;c_1,c_2) = \bar{y}(x) + c_1\ y_1(x) + c_2\ y_2(x)\; ,
\]
in cui \(\bar{y}(x)\), \(y_1(x)\) ed \(y_2(x)\) sono, rispettivamente, una soluzione particolare della EDO completa e due soluzioni indipendenti della EDO omogenea associata.
Sostituendo in (1) il valore \(x_0\), riusciamo ad esprimere le condizioni (D) come segue:
\[
\begin{cases}
\bar{y}(x_0) + c_1\ y_1(x_0) + c_2\ y_2(x_0) \geq y_0\\
\bar{y}^\prime (x_0) + c_1\ y_1^\prime (x_0) + c_2\ y_2^\prime (x_0) \geq y_1\; ,
\end{cases}
\]
ossia equivalentemente:
\[
\tag{D*}
\begin{cases}
y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 \geq y_0-\bar{y}(x_0) \\
y_1^\prime (x_0)\ c_1 + y_2^\prime (x_0)\ c_2 \geq y_1-\bar{y}^\prime (x_0)\; .
\end{cases}
\]
Il determinante:
\[
\mathcal{W}(y_1,y_2;x_0) = \begin{vmatrix} y_1(x_0) & y_2(x_0)\\ y_1^\prime (x_0) & y_2^\prime (x_0) \end{vmatrix}
\]
associato alle funzioni lineari al primo membro delle (D*) è diverso da zero (per noti fatti di teoria, dato che esso è il wronskiano delle due soluzioni indipendenti \(y_1\) ed \(y_2\) calcolato in \(x_0\)) e da ciò segue che le rette del piano \(Oc_1c_2\) individuate dalle equazioni lineari:
\[
\tag{2}
\begin{split}
y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 &= y_0-\bar{y}(x_0) \\
y_1^\prime (x_0)\ c_1 + y_2^\prime (x_0)\ c_2 &= y_1-\bar{y}^\prime (x_0)
\end{split}
\]
sono incidenti in un punto \((\chi_1,\chi_2)\); conseguentemente, le disuguaglianze (D*) individuano nel piano \(Oc_1c_2\) uno dei quattro angoli aventi vertice in \((\chi_1,\chi_2)\) formati dalle rette (2).[nota]Dovrebbe esserti noto che, mentre un'equazione del tipo \(ax+by=c\) individua nel piano cartesiano una retta, una disuguaglianza del tipo \(ax+by\geq c\) individua un semipiano (precisamente, uno dei due semipiani in cui la retta d'equazione \(ax+by=c\) divide il piano cartesiano). Conseguentemente, un sistema di disuguaglianze del tipo:
\[
\begin{cases}
ax+by\geq c\\
d x+e y\geq f
\end{cases}
\]
(con \(a,b\) e \(d,e\) non contemporaneamente nulli) individua l'intersezione di due semipiani. Chiaramente, se le rette che delimitano tali semipiani sono incidenti, l'intersezione dei suddetti sempiani è necessariamente uno dei quattro angoli opposti al vertice formati nel punto d'incidenza.[/nota]
Detto \(\Omega\) tale angolo, cioé posto:
\[
\Omega := \left\{ (c_1,c_2):\ c_1,\ c_2 \text{ soddisfano le (D*)}\right\}
\]
(cioé \(\Omega\) è l'insieme delle soluzioni delle (D*)), è evidente che ogni coppia di costanti \((c_1,c_2)\) appartenente ad \(\Omega\) individua una soluzione della nostra EDO che soddisfa anche le condizioni (D).
Quindi un problema del tipo:
\[
\tag{P}
\begin{cases} \text{EDO lineare del secondo ordine}\\
\text{condizioni (D)}
\end{cases}
\]
ammette sempre infinite soluzioni, tutte individuate da costanti appartenenti ad un insieme \(\Omega\) individuato da disuguaglianze lineari (i.e., un angolo).[nota]Questo fatto non deve stupire. Pensa, ad esempio, di voler progettare un pendolo con un'oscillazione non troppo piccola e con una velocità non troppo piccola: in quanti modi lo puoi fare? Chiaramente, infiniti! E le leggi orarie di tali pendoli, grosso modo, sono tutte quante soluzioni di uno stesso problema del tipo (P).[/nota]

2. Cosa succede se "rafforziamo" uno dei vincoli?
In altre parole, cosa succede se ad una delle due disuguaglianze (D) sostituiamo un'uguaglianza?
Facciamo il caso, aderente al tuo esercizio, che le nuove condizioni accoppiate alla solita EDO lineare del secondo ordine siano di tipo misto:
\[
\tag{M}
\begin{cases}
y(x_0;c_1,c_2) = y_0\\
y^\prime (x_0;c_1,c_2) \geq y_1\; .
\end{cases}
\]

Dato che l'integrale generale della EDO si rappresenta sempre mediante la (1), i vincoli (M) possono essere riscritti come:
\[
\tag{M*}
\begin{cases}
y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 = y_0-\bar{y}(x_0) \\
y_1^\prime (x_0)\ c_1 + y_2^\prime (x_0)\ c_2 \geq y_1-\bar{y}^\prime (x_0)\; .
\end{cases}
\]
Ora, nel piano \(Oc_1c_2\) non hai più la situazione di prima, in cui (D*) individuava l'intersezione di due semipiani! Infatti, il sistema (M*) individua i punti \((c_1,c_2)\) che stanno contemporaneamente sulla retta d'equazione \(y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 = y_0-\bar{y}(x_0)\) e nel semipiano individuato dalla limitazione \(y_1^\prime (x_0)\ c_1 + y_2^\prime (x_0)\ c_2 \geq y_1-\bar{y}^\prime (x_0)\). Dato che la retta delimitante il semipiano è incidente (nel solito punto \((\chi_1,chi_2)\)) a quella individuata dalla prima equazione del sistema (M*), è chiaro che l'insieme:
\[
\Theta := \left\{ (c_1,c_2):\ c_1,c_2 \text{ soddisfano le (M*)}\right\}
\]
delle soluzioni di (M*) è una delle due semirette in cui il punto \((\chi_1,\chi_2)\) divide la retta d'equazione \(y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 = y_0-\bar{y}(x_0)\) (precisamente quella che giace nel semipiano individuato dal vincolo di disuguaglianza).
Quindi un problema del tipo:
\[
\tag{P'}
\begin{cases} \text{EDO lineare del secondo ordine}\\
\text{condizioni (M)}
\end{cases}
\]
ammette sempre infinite soluzioni, tutte individuate da costanti appartenenti ad un insieme \(\Theta\) rappresentabile con una semiretta.

C'è una netta differenza, però, tra \(\Omega\) (ossia, l'insieme di costanti che forniscono le soluzioni a problemi del tipo (P)) e \(\Theta\) (cioé, l'insieme di costanti che forniscono le soluzioni a problemi del tipo (P')).
Infatti, \(\Omega\) è sostanzialmente un insieme bidimensionale (infatti, graficamente è un angolo, un pezzo di piano), mentre \(\Theta\) è un insieme monodimensionale (poiché graficamente è una semiretta, cioé un pezzo di retta).
Ciò, in un certo senso, vuol dire che un problema con condizioni di disuguaglianza ha "più soluzioni"[nota]In particolare "più" va inteso nel senso della dimensionalità, non nel senso della cardinalità.[/nota] di un problema con condizioni miste.

3. Cosa succede se accoppio alla solita EDO due condizioni di uguaglianza, cioé le celeberrime condizioni iniziali à la Cauchy:
\[
\tag{C}
\begin{cases}
y(x_0;c_1,c_2) = y_0\\
y^\prime (x_0;c_1,c_2) = y_1\; ?
\end{cases}
\]

Vista la "diminuzione" (in un certo senso) delle soluzioni nel salto dalle condizioni (D) alle condizioni (M), mi aspetto che il numero di soluzioni "diminuisca" ancora quando passo da (M) alle (C).
Ed in effetti c'è un "comodissimo" teorema di esistenza ed unicità che afferma che il problema (di Cauchy!):
\[
\tag{P''}
\begin{cases} \text{EDO lineare del secondo ordine}\\
\text{condizioni (C)}
\end{cases}
\]
ha unica soluzione.
Se andassimo a fare i conti usando la (1) per trovare le costanti \(c_1,c_2\) che individuano la soluzione unica del problema (P''), troveremmo che tali costanti sono proprio le soluzioni del sistema:
\[
\tag{C*}
\begin{cases}
y_1(x_0)\ c_1 + y_2(x_0)\ c_2 = y_0-\bar{y}(x_0) \\
y_1^\prime (x_0)\ c_1 + y_2^\prime (x_0)\ c_2 = y_1-\bar{y}^\prime (x_0)\; ,
\end{cases}
\]
ossia le coordinate \((\chi_1,\chi_2)\) del punto d'intersezione, nel piano \(Oc_1c_2\), delle due rette individuate dalle equazioni di (C*).
Quindi, imponendo due condizioni di uguaglianza, l'insieme delle costanti che forniscono soluzioni di (P'') è diventato un insieme zerodimensionale (infatti, graficamente, esso è un punto).

[robying1]

Grazie gugo82.
Adesso ho capito molto meglio ciò che si cerca con questo tipo di "costruzioni"

Per riportami al caso del mio esercizio quindi non potrò scrive "una" soluzione univoca per la y(x) in quanto saranno soluzione delle condizioni imposte tutti i punti sulla semiretta definita dalla disequazione.

Per concludere, nella soluzione generale dovrò indicare questa condizione con

y(x) > "equazione generale"

Può essere corretta come interpretazione?


Adesso ricalcolo l'esercizio per trovare gli errori...poi provo a scrivere la soluzione corretta.

[gugo82]

"robying":Grazie gugo82.
Adesso ho capito molto meglio ciò che si cerca con questo tipo di "costruzioni"

Per riportami al caso del mio esercizio quindi non potrò scrive "una" soluzione univoca per la y(x) in quanto saranno soluzione delle condizioni imposte tutti i punti sulla semiretta definita dalla disequazione.

Per concludere, nella soluzione generale dovrò indicare questa condizione con

y(x) > "equazione generale"

Può essere corretta come interpretazione?

Ma anche no.
Come può una soluzione della EDO, che è una funzione, essere definita mediante una disuguaglianza???
Ti prego, rileggi quanto ho scritto e fai i conti riportando il ragionamento al tuo caso.

In particolare, vedrai che la soluzione del tuo problema sarà una cosa del tipo \(y(x;c_1,c_2) = \bar{y}(x) + c_1\ y_1(x)+c_2\ y_2(x)\) con \((c_1,c_2)\in \Theta\), in cui \(\Theta\) è l'insieme di cui al caso 2.

[robying1]

$ { ( y''-9y=e^(3x)-e^(-3x) ),( y(0)=0 ),( y^{\prime}(0)>0 ):} $


trovo questa soluzione
$ y(x)=c_1e^(3x)+c_2e^(-3x)+x/6e^(3x)+x/6e^(-3x)-e^(3x)/36+e^(-3x)/36 $
impongo la condizione
$ y(0)=0 $
ottengo
$ c_1 + c_2=0 $
Poi
impongo la condizione
$ y^{\prime}(0)>0 $
ottengo
$ 3c_1 -3c_2> -1/6 $

[se avessi una condizione
$ y^{\prime}(0)=0 $
otterrei
$ y(x)=-e^(3x)/18+e^(-3x)/18+x/6e^(3x)+x/6e^(-3x) $ ]