Equazione differenziale a coeficenti costanti!!!
Sto avendo un po di dubbi nella risoluzione di quests equazione differenziale: $y''+4y'+5y=cos3x$... ora ho strovato gli zeri dell'omogenea:$-2+-i$ poi,siccome $appha=o, beta=3"$ v(x)=$x^0e^0(cos3x+sin3x)$... ma ora le devo derivare e metterle nell'equazione uguagliandola a cos3x???
Risposte
Data l'equazione differenziale non omogenea[nota]L'integrale generale si trova sommando un soluzione dell'omogena e una soluzione particolare della completa $y=y_o + y_p$[/nota] $ y''+4y'+5y=cos3x $, occorre trovare prima una soluzione
dell'equazione omogenea, cercando le radici del polinomio caratteristico è $r''+4r'+5=0$;
la cui soluzione complessa coniugata è $(-2+- i )$
per cui la parte reale del numero complesso è $alpha=-2$, mentre la parte immaginaria è $beta=1$.
La soluzione dell'omogenea è quindi: $y_o=c_1 e^(-2x) cos(x)+c_2e^(-2x) sin(x)=e^(-2x)[c_1 cos(x)+c_2 sin(x)]$
dell'equazione omogenea, cercando le radici del polinomio caratteristico è $r''+4r'+5=0$;
la cui soluzione complessa coniugata è $(-2+- i )$
per cui la parte reale del numero complesso è $alpha=-2$, mentre la parte immaginaria è $beta=1$.
La soluzione dell'omogenea è quindi: $y_o=c_1 e^(-2x) cos(x)+c_2e^(-2x) sin(x)=e^(-2x)[c_1 cos(x)+c_2 sin(x)]$
Ora manca da cercare una soluzione particolare $y_p$, che puoi trovare in vari modi, presumo tu abbia scelto il metodo di variazione delle costanti; in tal caso, bisogna risolvere il sistema associato al wronskiano:
$( ( e^(-2x) cos(x) , 2e^(-2x) sin(x) ),( -e^(-2x)(sin(x)+2cos(x)) , e^(-2x)(cos(x)-2sin(x)) ) ) ((c_1'),(c_2'))=((0),(cos(3x)))$
Una volta trovati i valori di $c'_1, c'_2$, basta trovare una primitiva per ottenere $c_1, c_2$.
Io sapevo che in basse al valore del valore noto, si dovesse riscrivere l'equazione e poi trovare derivata prima e seconda e sostituirle all'equazione... sbaglio?
Non ho capito cosa intendi con "in basse al valore del valore noto".
Comunque, la soluzione particolare da cercare è del tipo $y_p=c_1(x) z_1(x)+c_2(x) z_2(x)$, dove $z_1, z_2$ sono le soluzioni indipendenti dell'omogenea.
Per trovare tale soluzioni occorre risolvere il seguente sistema:
Dove la matrice dei coefficienti è proprio il wronskiano: nella prima riga metti le soluzioni ottenute e nella seconda la derivata prima delle soluzioni; $f(t)$ è il termine noto dell'equazione.
Risolto il sistema, integri $c_1', c_2'$ per trovare $c_1, c_2$.
Comunque, la soluzione particolare da cercare è del tipo $y_p=c_1(x) z_1(x)+c_2(x) z_2(x)$, dove $z_1, z_2$ sono le soluzioni indipendenti dell'omogenea.
Per trovare tale soluzioni occorre risolvere il seguente sistema:
${ ( c'_1 z_1 + c_2'z_2=0 ),( c_1'z_1'+c_2'z_2'=f(t) ):} hArr | ( z_1 , z_2 ),( z_1' , z_2' ) | ((c_1'),(c_2'))=((0),(f(t)))$
Dove la matrice dei coefficienti è proprio il wronskiano: nella prima riga metti le soluzioni ottenute e nella seconda la derivata prima delle soluzioni; $f(t)$ è il termine noto dell'equazione.
Risolto il sistema, integri $c_1', c_2'$ per trovare $c_1, c_2$.
Cioé se tipo il.termine noto é cos x dicevo $alpha=0, beta=1$ e quindi l'equazione diventava $x^he^alppha(A betax+Bsin betax)$ questa poi la derivavo in base al grado dell'equazione sostituivo al poso delle y e imponevo l'iguagluanza col termine noto per trovare la A B
Mhmm... credo che usi non metodo diverso per risolvere le equazioni differenziali; mi dispiace ma conosco solo il metodo di variazioni delle costanti.
Grazie lo stesso
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