Equazione differenziale a coeff. costanti
In che modo si risolve? (preferibilemente senza il metodo di Lagrange)
$y'' + y' = tg(x)$
$y'' + y' = tg(x)$
Risposte
Mi sa che devi usare proprio quello, invece...
In che modo si scrive il sistema ..... poi il resto vedo di farlo io
Diciamo $u_1,u_2$ due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea associata $y''+y'=0$; vogliamo scrivere un integrale particolare dell'equazione completa $y''+y'=tg x$ nella forma:
$y(x)=gamma_1(x)u_1(x)+gamma_2(x)u_2(x) \quad$.
Innanzitutto deriviamo una volta m.a.m. ed otteniamo:
(1) $\quad y'(x)=\{gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)\}+ gamma_1(x)u_1'(x)+gamma_2(x)u_2'(x)$
Ora dovremmo derivare un'altra volta per ottenere anche $y''$ da sostituire nell'equazione completa; però c'è un pezzo che ci dà fastidio, che è quello in parentesi graffe, perchè derivandolo otterremo delle derivate seconde di $gamma_1,gamma_2$ che non sapremmo come gestire: pertanto supponiamo che le due funzioni $gamma_1,gamma_2$ soddisfino il "vincolo":
(a) $\quad gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)=0$
di modo che (1) diviene:
(2) $\quad y'(x)=gamma_1(x)u_1'(x)+gamma_2(x)u_2'(x) \quad$.
Deriviamo m.a.m. la (2) ed otteniamo:
(3) $\quad y''(x)=[gamma_1(x)'u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)]+gamma_1(x)u_1''(x)+gamma_2(x)u_2''(x) \quad$;
sommando m.a.m. (2) e (3) e tenendo presente che $u_i''(x)+u_i'(x)=0$ per $i=1,2$, troviamo:
(4) $\quad y''(x)+y'(x)=gamma_1(x)'u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)$
da cui segue che la nostra $y$ è soluzione dell'equazione completa se $gamma_1,gamma_2$ soddisfano l'equazione:
(b) $\quad gamma_1'(x)u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)=tg x \quad$.
Mettendo insieme (a) e (b) otteniamo un sistema differenziale del primo ordine, cioè:
(S) $\quad \{(gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)=0),(gamma_1'(x)u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)=tg x):}$
le cui soluzioni $gamma_1,gamma_2$ forniscono tutte e sole le funzioni che consentono di determinare un integrale particolare di $y''+y'=tg x$ nella forma $y(x)=gamma_1(x)u_1(x)+gamma_2(x)u_2(x)$.
Ora, nel nostro caso è $u_1(x)=e^(-x),u_2(x)=1$, cosicché (S) si scrive:
$\{(gamma_1'(x)e^(-x)+gamma_2'(x)=0),(-gamma_1'(x)e^(-x)=tg x):}$
da cui si trae:
(S') $\quad \{(gamma_1'(x)=-e^x tg x),(gamma_2'(x)=tgx):}$
(se non ho sbagliato i conti
).
La prima equazione non mi sembra che abbia un integrale elementare... Però potrei sbagliarmi, devi controllare.
$y(x)=gamma_1(x)u_1(x)+gamma_2(x)u_2(x) \quad$.
Innanzitutto deriviamo una volta m.a.m. ed otteniamo:
(1) $\quad y'(x)=\{gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)\}+ gamma_1(x)u_1'(x)+gamma_2(x)u_2'(x)$
Ora dovremmo derivare un'altra volta per ottenere anche $y''$ da sostituire nell'equazione completa; però c'è un pezzo che ci dà fastidio, che è quello in parentesi graffe, perchè derivandolo otterremo delle derivate seconde di $gamma_1,gamma_2$ che non sapremmo come gestire: pertanto supponiamo che le due funzioni $gamma_1,gamma_2$ soddisfino il "vincolo":
(a) $\quad gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)=0$
di modo che (1) diviene:
(2) $\quad y'(x)=gamma_1(x)u_1'(x)+gamma_2(x)u_2'(x) \quad$.
Deriviamo m.a.m. la (2) ed otteniamo:
(3) $\quad y''(x)=[gamma_1(x)'u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)]+gamma_1(x)u_1''(x)+gamma_2(x)u_2''(x) \quad$;
sommando m.a.m. (2) e (3) e tenendo presente che $u_i''(x)+u_i'(x)=0$ per $i=1,2$, troviamo:
(4) $\quad y''(x)+y'(x)=gamma_1(x)'u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)$
da cui segue che la nostra $y$ è soluzione dell'equazione completa se $gamma_1,gamma_2$ soddisfano l'equazione:
(b) $\quad gamma_1'(x)u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)=tg x \quad$.
Mettendo insieme (a) e (b) otteniamo un sistema differenziale del primo ordine, cioè:
(S) $\quad \{(gamma_1'(x)u_1(x)+gamma_2'(x)u_2(x)=0),(gamma_1'(x)u_1'(x)+gamma_2'(x)u_2'(x)=tg x):}$
le cui soluzioni $gamma_1,gamma_2$ forniscono tutte e sole le funzioni che consentono di determinare un integrale particolare di $y''+y'=tg x$ nella forma $y(x)=gamma_1(x)u_1(x)+gamma_2(x)u_2(x)$.
Ora, nel nostro caso è $u_1(x)=e^(-x),u_2(x)=1$, cosicché (S) si scrive:
$\{(gamma_1'(x)e^(-x)+gamma_2'(x)=0),(-gamma_1'(x)e^(-x)=tg x):}$
da cui si trae:
(S') $\quad \{(gamma_1'(x)=-e^x tg x),(gamma_2'(x)=tgx):}$
(se non ho sbagliato i conti
).La prima equazione non mi sembra che abbia un integrale elementare... Però potrei sbagliarmi, devi controllare.
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