Equazione differenziale
Salve a tutti. Chiedo aiuto riguardo un'equazione differenziale che non sono riuscito a svolgere o meglio non sono riuscito a calcolarne l'integrale particolare:
y ' ' '+ y ' ' + 3y ' = xcosx
Per quanto riguarda l'integrale generale dell'omogenea associata credo non ci siano problemi. Il risultato secondo i miei calcoli è uguale a:
Secondo la mia ipotesi l'integrale particolare deve essere del tipo:
forse è qui che cado in errore, dato che procedendo con i calcoli mi ritrovo a dover calcolare 4 incognite con 2 sole equazioni?
Vi ringrazio per l'aiuto!
y ' ' '+ y ' ' + 3y ' = xcosx
Per quanto riguarda l'integrale generale dell'omogenea associata credo non ci siano problemi. Il risultato secondo i miei calcoli è uguale a:
Secondo la mia ipotesi l'integrale particolare deve essere del tipo:
forse è qui che cado in errore, dato che procedendo con i calcoli mi ritrovo a dover calcolare 4 incognite con 2 sole equazioni?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Per l'integrale dell'omogenea a quanto pare non ci sono problemi (forse ti sei scordato una $x$ dentro le funzioni goniometriche). Ricordati che quella che hai scritto è un equazione differenziale di terzo grado, quindi prima risolvi per y' (come forse hai fatto) e poi integri. Prova a rivedere i calcoli, quelle mi sembra solo la soluzione dell' omogenea
Si grazie della risposta: ovviamente l'argomento di seno e coseno ha la x come argomento (nel copiare la risposta devo averlo omesso per errore). Potresti gentilmente essere più chiaro riguardo l'integrale particolare che poi è proprio ciò che mi interessa sapere. Mi hai detto di ricordare che quella è una equazione differenziale del terzo ordine: c'è forse qualche differenza con quella degli altri ordini considerando che io la svolga con il metodo a coefficienti costanti con termine noto di tipo particolare? Se si potresti gentilmente illustrarmi come fare. I calcoli che ho fatto li ho ripetuti più volte e non riesco a trovare le incognite a,b,p,q.
Mi illustreresti il procedimento corretto se il mio è errato? E' importante grazie.
P.S. aggiungo il punto fin cui sono arrivato utilizzando il metodo della somiglianza:
2Ax(Qcos(x) - Psen(x)) + 2B(Qcos(x) - Psen(x)) + 2A(Qcos(x) - Psen(x)) + (Ax+B)( - Pcos(x) - Qsen(x))=xcos(x)
Mi illustreresti il procedimento corretto se il mio è errato? E' importante grazie.
P.S. aggiungo il punto fin cui sono arrivato utilizzando il metodo della somiglianza:
2Ax(Qcos(x) - Psen(x)) + 2B(Qcos(x) - Psen(x)) + 2A(Qcos(x) - Psen(x)) + (Ax+B)( - Pcos(x) - Qsen(x))=xcos(x)
Ciao Clipper,
ti consiglio caldamente di dare un'occhiata al tutorial per l'editor di formule, molto comodo e veloce!!
Il tuo ragionamento è corretto, devi solo fare i conti con attenzione. Infatti se usi la tua soluzione di prova
\(
y(x) = (ax+b) (p \cos x + q \sin x)
\)
e la inserisci nell'equazione differenziale, otterrai (dopo un bel po' di algebra) un'espressione del tipo
\(
A x \cos x + B \cos x + C x \sin x + D \sin x = x \cos x
\)
dove $A,B,C,D$ sono delle funzioni dei tuoi parametri $a,b,p,q$. Da questa ottieni quattro equazioni (non due) imponendo l'uguaglianza dei coefficienti dei due membri, cioè il sistema
\(
\begin{cases}
A = 1 \\
B = 0 \\
C = 0 \\
D = 0
\end{cases}
\)
che puoi risolvere per trovare $a,b,p,q$. L'approccio è corretto anche se molto lungo dal punto di vista dei calcoli. Forse conviene cercare una soluzione direttamente nella forma
\(
y(x) = a x \cos x + b \cos x + c x \sin x + d \sin x
\)
ad occhio mi viene da dire che il sistema finale sia più semplice da risolvere perchè risulta lineare.
Se i numeri complessi non sono un problema ti conviene di gran lunga notare che
\(
x \cos x = Re\{x e^{i x}\}
\)
quindi risolvere l'equazione
\(
z'''(x) + z''(x) +3z'(x) = x e^{ix}
\)
usando come funzione di prova $ z(x) = ( \alpha x + \beta ) e^{ix} $ con $\alpha, \beta$ numeri complessi. La soluzione che cerchi sarà data dalla parte reale di $z$. I vantaggi di questo approccio sono due: le derivate si calcolano meglio visto che ora compare un esponenziale e hai introdotto solo due parametri da determinare.
Sostituendo nell'equazioni ottieni
\(
\alpha (-1+2 i) x e^{ix} + (\alpha 2 i + \beta (-1+2i)) e^{ix} = x e^{ix}
\)
da cui
\(
\begin{cases}
\alpha (-1+2 i) = 1 \\
\alpha 2 i + \beta (-1+2i) = 0
\end{cases}
\qquad \rightarrow \qquad
\begin{cases}
\displaystyle \alpha = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i \\
\displaystyle \beta = \frac{8}{25} + \frac{6}{25} i
\end{cases}
\)
la soluzione complessa è quindi
\(
\displaystyle z(x) = \left[ \left(-\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i \right) x + \left(\frac{8}{25} + \frac{6}{25} i \right) \right] e^{ix}
\)
con un po' di algebra la puoi dividere nella sua parte reale e immaginaria
\(
\displaystyle z(x) = \left[ \frac{8}{25} \cos x - \frac{1}{5} x \cos x - \frac{6}{25} \sin x + \frac{2}{5} x \sin x \right] + i \left[ \frac{6}{25} \cos x - \frac{2}{5} x \cos x + \frac{8}{25} \sin x - \frac{1}{5} x \sin x \right]
\)
e quindi la tua soluzione particolare è
\(
\displaystyle y_p(x) = Re[z(x)] = \frac{8}{25} \cos x - \frac{1}{5} x \cos x - \frac{6}{25} \sin x + \frac{2}{5} x \sin x
\)
Nota che la parte immaginaria di $z$ rappresenta una soluzione particolare della stessa equazione con termine noto $x \sin x$ e che l'abbiamo ottenuta "gratis" passando ai complessi.
ti consiglio caldamente di dare un'occhiata al tutorial per l'editor di formule, molto comodo e veloce!!
Il tuo ragionamento è corretto, devi solo fare i conti con attenzione. Infatti se usi la tua soluzione di prova
\(
y(x) = (ax+b) (p \cos x + q \sin x)
\)
e la inserisci nell'equazione differenziale, otterrai (dopo un bel po' di algebra) un'espressione del tipo
\(
A x \cos x + B \cos x + C x \sin x + D \sin x = x \cos x
\)
dove $A,B,C,D$ sono delle funzioni dei tuoi parametri $a,b,p,q$. Da questa ottieni quattro equazioni (non due) imponendo l'uguaglianza dei coefficienti dei due membri, cioè il sistema
\(
\begin{cases}
A = 1 \\
B = 0 \\
C = 0 \\
D = 0
\end{cases}
\)
che puoi risolvere per trovare $a,b,p,q$. L'approccio è corretto anche se molto lungo dal punto di vista dei calcoli. Forse conviene cercare una soluzione direttamente nella forma
\(
y(x) = a x \cos x + b \cos x + c x \sin x + d \sin x
\)
ad occhio mi viene da dire che il sistema finale sia più semplice da risolvere perchè risulta lineare.
Se i numeri complessi non sono un problema ti conviene di gran lunga notare che
\(
x \cos x = Re\{x e^{i x}\}
\)
quindi risolvere l'equazione
\(
z'''(x) + z''(x) +3z'(x) = x e^{ix}
\)
usando come funzione di prova $ z(x) = ( \alpha x + \beta ) e^{ix} $ con $\alpha, \beta$ numeri complessi. La soluzione che cerchi sarà data dalla parte reale di $z$. I vantaggi di questo approccio sono due: le derivate si calcolano meglio visto che ora compare un esponenziale e hai introdotto solo due parametri da determinare.
Sostituendo nell'equazioni ottieni
\(
\alpha (-1+2 i) x e^{ix} + (\alpha 2 i + \beta (-1+2i)) e^{ix} = x e^{ix}
\)
da cui
\(
\begin{cases}
\alpha (-1+2 i) = 1 \\
\alpha 2 i + \beta (-1+2i) = 0
\end{cases}
\qquad \rightarrow \qquad
\begin{cases}
\displaystyle \alpha = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i \\
\displaystyle \beta = \frac{8}{25} + \frac{6}{25} i
\end{cases}
\)
la soluzione complessa è quindi
\(
\displaystyle z(x) = \left[ \left(-\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i \right) x + \left(\frac{8}{25} + \frac{6}{25} i \right) \right] e^{ix}
\)
con un po' di algebra la puoi dividere nella sua parte reale e immaginaria
\(
\displaystyle z(x) = \left[ \frac{8}{25} \cos x - \frac{1}{5} x \cos x - \frac{6}{25} \sin x + \frac{2}{5} x \sin x \right] + i \left[ \frac{6}{25} \cos x - \frac{2}{5} x \cos x + \frac{8}{25} \sin x - \frac{1}{5} x \sin x \right]
\)
e quindi la tua soluzione particolare è
\(
\displaystyle y_p(x) = Re[z(x)] = \frac{8}{25} \cos x - \frac{1}{5} x \cos x - \frac{6}{25} \sin x + \frac{2}{5} x \sin x
\)
Nota che la parte immaginaria di $z$ rappresenta una soluzione particolare della stessa equazione con termine noto $x \sin x$ e che l'abbiamo ottenuta "gratis" passando ai complessi.
Grazie mille della risposta. Risolvendo l'equazione con il metodo da te indicatomi del quale tuttavia non ero a conoscenza mi trovo con il risultato da te proposto. Mi chiedo se l'equazione era risolvibile anche normalmente, poiché se così non fosse potrei giustificarmi in questo modo con il professore che mi ha proposto tale esercizio senza aver spiegato il metodo da te illustratomi. Tra l'altro il compito comprendeva anche un integrale superficiale di rotazione e una forma differenziale lineare oltre a tre domande di teoria abbastanza complesse da esporre per iscritto: il tutto in due misere ore. Ditemi se secondo voi è normale. Grazie per l'attenzione.
Prego, figurati. Certo che l'equazione era risolvibile anche senza passare ai complessi (immagino intendessi questo con "normalmente"). Ti riporto la parte di post in cui ho cercato di tratteggiare i passaggi
Vedi se ti torna lo stesso risultato. E se ti torna diverso non disperare. La soluzione particolare non é unica, la cosa importante é che risolva l'equazione non omogenea.
"alle.fabbri":
Infatti se usi la tua soluzione di prova
\(
y(x) = (ax+b) (p \cos x + q \sin x)
\)
e la inserisci nell'equazione differenziale, otterrai (dopo un bel po' di algebra) un'espressione del tipo
\(
A x \cos x + B \cos x + C x \sin x + D \sin x = x \cos x
\)
dove $A,B,C,D$ sono delle funzioni dei tuoi parametri $a,b,p,q$. Da questa ottieni quattro equazioni (non due) imponendo l'uguaglianza dei coefficienti dei due membri, cioè il sistema
\(
\begin{cases}
A = 1 \\
B = 0 \\
C = 0 \\
D = 0
\end{cases}
\)
che puoi risolvere per trovare $a,b,p,q$.
Vedi se ti torna lo stesso risultato. E se ti torna diverso non disperare. La soluzione particolare non é unica, la cosa importante é che risolva l'equazione non omogenea.
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