Equazione differenziale

[rori2]

salve a tutti,
ho un'equazioni differenziale da svolgere d'esame di cui devo trovare l'integrale generale...
gli esercizi che avevo sui libri erano più semplici...

y"+2y'+y= ([tex]e^{-x}[/tex] )/ (1+ [tex]{x}^{2}[/tex] )

fino a che devo svolgere l'omogenea associata ci sono, ma poi non so come trovare quella determinata da
([tex]e^{-x}[/tex] )/ (1+ [tex]{x}^{2}[/tex] )

ho la soluzione ed è
y(x)= C1 [tex]e^{-x}[/tex] +C2x[tex]e^{-x}[/tex] -( 1/2)[tex]e^{-x}[/tex] [tex]\log[/tex] (1+ [tex]{x}^{2}[/tex])+x[tex]e^{-x}[/tex] [tex]\arctan{x}[/tex]

qualcuno mi aiuterebbe a svolgerla o sa spiegarmi passo passo come procedere?

vi ringrazio
[xdom="dissonance"]Eliminato anche qui il TUTTO MAIUSCOLO dal titolo.[/xdom]

[paolotesla91]

no mi disp non ho proprio fatto i calcoli xD! comunque riprova secondo me è un errore di calcolo ! Grazie a te che mi rendi utile

[rori2]

ti ringrazio ..sto riprovando..ma quando vado a calcolare l'integrale particolare [tex](ax+b)/(1+{x}^{2} )[/tex] e mi devo trovare le [tex]V'0(x)[/tex] e [tex]V"0(x)[/tex] vado a derivare anche la [tex](1+{x}^{2} )[/tex], derivo la frazione giusto?

[paolotesla91]

ovvio xD

[rori2]

ok!!credo di aver trovato l'errore!!!!o almeno ne ho trovato uno non ho messo un meno quando derivavo...

[paolotesla91]

ahah okok

[dissonance]

"paolotesla91":Ciao. Io risolverei separatamente, cosi allunghi un pò il procedimento ma non rischi di sbagliare. Considera:

(1)$y''+2y'+y=e^(-x)$
(2)$y''+2y'+y=1/(1+x^2)$

e risolvi separatamente.

Ma stai scherzando?!?!? E poi magari la soluzione è il rapporto delle due soluzioni??? Ti rendi conto di che razza di idiozia che hai sparato?

@rori: Stai attenta, non prendere per buono tutto quello che ti dicono su un forum. Può capitare che ti arrivi un suggerimento sbagliato, come in questo caso. Il metodo di Paolo sarebbe stato corretto con un termine noto di forma \(F_1(x)+F_2(x)\), ovvero scomposto in somma e non in un rapporto. Tu nel dubbio devi sempre consultare il libro di testo e studiare la teoria prima di metterti a fare esercizi.

[rori2]

mi tornano dei numeri più decenti ma ancora non mi esce..quando vado a fare sempre lìultimo integrale particolare
ottengo
[tex]{-2-3ax+9b{x}^{2}-2a{x}^{2} -4bx+b+a{x}^{3}/ {{[1+{x}^{2}}]^{2}}}[/tex]

e mi sa che faccio degli errori anche qua...
ho posto [tex]b=1[/tex]
poi [tex]-3ax-4bx=0[/tex]
[tex]9b{x}^{2} -2a{x}^{2} =1[/tex]
e [tex]a{x}^{3} =0[/tex]

è giusto? e mi escono [tex]a=4[/tex] e [tex]b=1[/tex]
..ma [tex]1/[/tex] [tex]{[{1+{x}^{2}}]^{2}}[/tex] come lo devo porre?..forse è qua che sbaglio

[paolotesla91]

chiedo scusa dissonance ma io ho sempre applicato questo metodo con funzioni del tipo $e^x-(sen(2x))/(cosx)$ e mi trovavo con i risultati del mio libro! Se non si deve procedere cosi allora come? Non c'è altro modo oltre al Wronskiano?

[dissonance]

"paolotesla91":chiedo scusa dissonance ma io ho sempre applicato questo metodo con funzioni del tipo $e^x-(sen(2x))/(cosx)$

Scomponendole in somma, quindi. E' il principio di sovrapposizione, su tutti i libri c'è alla prima pagina del capitolo "equazioni differenziali lineari". Ma da nessuna parte c'è scritto che si possa fare una cosa del genere col prodotto.

Se non si deve procedere cosi allora come? Non c'è altro modo oltre al Wronskiano?

Che cosa sarebbe "il modo del Wronskiano"? Probabilmente intendi il metodo di variazione delle costanti. Quello funziona sempre, altrimenti si può usare il metodo "di somiglianza" che è illustrato, ad esempio, qui

http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375

(clic su "eq. diff. lineari a coeff. costanti: ricerca di soluzioni particolari"). C'è solo da fare un po' di conti. Questo vale anche per rori.

[paolotesla91]

ah giusto ho sbagliato, credevo di poter usare lo stesso metodo anche con questo tipo! xD comunque grazie della correzione si intendevo il metodo di variazione delle costanti.

Allora rori chiedo scusa ma devi applicare il teorema per forza xD

[rori2]

grazie ad entrambi per l'aiuto ho apllicato il wronksiano ed è uscito