Equazione differenziale
Ciao a tutti.
Un esercizio mi chiede di studiare il comportamento della soluzione $y(x)$ di questo problema di Chauchy:
$\{(y'=x-2y+2^y),(y(0)=-1):}$
Ho provato con uno studio qualitativo ma ciò che mi risulta non coincide con le soluzioni:
http://i.imgur.com/UbNSO.png
Come mi conviene procedere?
Grazie!
Un esercizio mi chiede di studiare il comportamento della soluzione $y(x)$ di questo problema di Chauchy:
$\{(y'=x-2y+2^y),(y(0)=-1):}$
Ho provato con uno studio qualitativo ma ciò che mi risulta non coincide con le soluzioni:
http://i.imgur.com/UbNSO.png
Come mi conviene procedere?
Grazie!
Risposte
Tu sai che $y(0)=-1 $, sostituendo questo valore nell'equazione avrai che
$y'(0)= 0 -2(-1)+2^(-1)= 5/2 > 0$.
Dunque sarà la soluzione c) oppure d ).
Per determinarlo deriva l'equazione iniziale ottenendo :
$ y'' = 1-2y'+2^y *y'*ln2 $
e valuta $y''(0)= .... $
$y'(0)= 0 -2(-1)+2^(-1)= 5/2 > 0$.
Dunque sarà la soluzione c) oppure d ).
Per determinarlo deriva l'equazione iniziale ottenendo :
$ y'' = 1-2y'+2^y *y'*ln2 $
e valuta $y''(0)= .... $
Calcoli subito \( y'(0) = 5/2\); inoltre, derivando l'equazione hai che \( y'' = 1- 2y'+y' 2^y\log 2\) dalla quale ricavi \( y''(0) = -4+\frac{5}{4}\log 2 < 0\).
La funzione è dunque concava in un intorno di \( x=0\), per cui l'andamento è quello indicato in (c).
Edit: ha già risposto camillo.
La funzione è dunque concava in un intorno di \( x=0\), per cui l'andamento è quello indicato in (c).
Edit: ha già risposto camillo.
Sbagliavo nel calcolare la derivata seconda allora. Grazie 
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