Equazione differenziale
Risolvere il seguente problema di cauchy:
$y'= 8 \text{t}y + \text{t}$ con $y(1) = \frac{7}{8}$
io ho messo in evidenza $y'= t(8y + 1)$ per poi dire che $\int \frac{\text{dy}}{8y + 1}= \int \text{dt} = \frac{1}{8} \log |8y + 1| = \frac{t^2}{2} + c$
La costante come la calcolate? io non mi ritrovo con i risultati! Lo svolgimento sul libro parla di $c''$ non l'ho capito! Grazie
$y'= 8 \text{t}y + \text{t}$ con $y(1) = \frac{7}{8}$
io ho messo in evidenza $y'= t(8y + 1)$ per poi dire che $\int \frac{\text{dy}}{8y + 1}= \int \text{dt} = \frac{1}{8} \log |8y + 1| = \frac{t^2}{2} + c$
La costante come la calcolate? io non mi ritrovo con i risultati! Lo svolgimento sul libro parla di $c''$ non l'ho capito! Grazie
Risposte
Calcola la costante imponendo le condizioni iniziali, ovvero \(t=1, y=7/8\).
sostituendo mi viene $\frac{3}{8} \log 2 = \frac{1}{2} + c$ cioè $c = \frac{3}{8} \log 2 - \frac{1}{2}$ come faccio? Grazie
E che altro vuoi fare? Hai finito


"davidedesantis":
Risolvere il seguente problema di cauchy:
\[
\begin{cases} y^\prime = 8 t\ y + t \\
y(1) = \frac{7}{8}
\end{cases}
\]
io ho messo in evidenza \(y^\prime = t\ (8y + 1)\) per poi dire che \(\int \frac{\text{d} y}{8y + 1} = \int \text{d}t\) quindi \( \frac{1}{8} \log |8y + 1| = \frac{t^2}{2} + c\).
La costante come la calcolate?
Semplicemente la lascio calcolare al problema...

Faccio innanzitutto un'analisi preliminare del problema.
Fatto ciò, passo a risolvere il problema.
Sia \(y(t)\) la soluzione massimale della EDO che soddisfa \(y(1)=7/8\); dato che \(y(1)>-1/8\), la soluzione \(y\) che voglio determinare è sempre \(>-1/8\), quindi essa è strettamente crescente in \([0,\infty[\) e strettamente decrescente in \(]-\infty ,0]\).
Tale soluzione, inoltre, soddisfa la relazione:
\[
\tag{1} \frac{y^\prime (t)}{8y(t) +1} = t
\]
giacché \(y(t)>-1/8\) (quindi posso dividere m.a.m. la EDO per \(8y(t)+1\) senza problemi); ora fisso un \(t\geq 0\) e tengo presente che la (1) si conserva passando alle funzioni integrali con punto iniziale \(1\) ed estremo superiore variabile \(t\geq 0\):
\[
\tag{2} \int_1^t \frac{y^\prime (\tau )}{8\ y(\tau ) +1}\ \text{d} \tau = \int_1^t \tau\ \text{d} \tau\; ;
\]
dato che \(y\) è strettamente crescente in \([0,\infty[\), è lecito fare nell'integrale al primo membro il cambiamento di variabile \(\theta = y(t)\), di modo che la (2) si muta in:
\[
\tag{3} \int_{7/8}^{y(t)} \frac{1}{8\theta +1}\ \text{d} \theta = \int_1^t \tau\ \text{d} \tau\; .
\]
A questo punto un semplice calcolo mostra che la (3) equivale a:
\[
\ln (8\theta +1) \Big|_{7/8}^{y(t)} = 4\ \tau^2 \Big|_1^t
\]
ossia a:
\[
\tag{4} \ln (8y(t)+1) = \ln 8 - 4 +4t^2
\]
che fornisce la soluzione \(y\) in forma implicita limitatamente ai valori \(t\geq 0\). Risolvendo la (4) per \(y\) ottengo:
\[
\tag{5} y(t)= \frac{1}{e^4}\ e^{4\ t^2} -\frac{1}{8}\; ,
\]
che è l'espressione elementare della mia soluzione massimale per \(t\in [0,\infty[\).
Ma, d'altra parte, la funzione fornita dalla (5) è definita anche in \(]-\infty ,0]\) e soddisfa il problema di Cauchy anche in tale insieme; poiché so che le soluzioni massimali di un problema di Cauchy sono uniche, deduco che la (5) fornisce l'espressione elementare della soluzione anche per \(t\leq 0\).
Pertanto la funzione \(y\) individuata dalla (5) è l'unica soluzione massimale del problema di Cauchy assegnato.

Nota che il minimo assoluto di \(y(t)\) è preso in \(0\) (come veniva fuori dall'analisi preliminare) e si ha:
\[
y(0)=\frac{1}{e^4}-\frac{1}{8} >-\frac{1}{8}\; .
\]