Equazione differenziale

[smaug1]

Risolvere il seguente problema di cauchy:

$y'= 8 \text{t}y + \text{t}$ con $y(1) = \frac{7}{8}$

io ho messo in evidenza $y'= t(8y + 1)$ per poi dire che $\int \frac{\text{dy}}{8y + 1}= \int \text{dt} = \frac{1}{8} \log |8y + 1| = \frac{t^2}{2} + c$

La costante come la calcolate? io non mi ritrovo con i risultati! Lo svolgimento sul libro parla di $c''$ non l'ho capito! Grazie

[dissonance]

Calcola la costante imponendo le condizioni iniziali, ovvero \(t=1, y=7/8\).

[smaug1]

sostituendo mi viene $\frac{3}{8} \log 2 = \frac{1}{2} + c$ cioè $c = \frac{3}{8} \log 2 - \frac{1}{2}$ come faccio? Grazie

[dissonance]

E che altro vuoi fare? Hai finito

[smaug1]

grazie mille!! Magari volevo scriverla in un modo migliore ma va bene così in effetti

[gugo82]

"davidedesantis":Risolvere il seguente problema di cauchy:
\[
\begin{cases} y^\prime = 8 t\ y + t \\
y(1) = \frac{7}{8}
\end{cases}
\]
io ho messo in evidenza \(y^\prime = t\ (8y + 1)\) per poi dire che \(\int \frac{\text{d} y}{8y + 1} = \int \text{d}t\) quindi \( \frac{1}{8} \log |8y + 1| = \frac{t^2}{2} + c\).
La costante come la calcolate?

Semplicemente la lascio calcolare al problema...

Faccio innanzitutto un'analisi preliminare del problema.

La EDO è del tipo \(y^\prime (t)=f(t,y(t))\), con \(f(t,y):=t\ (8y+1)\).

[*:2uisnf01] Dato che il secondo membro è di classe \(C^\infty\), il problema ha soluzione locale unica.

[/*:m:2uisnf01]
[*:2uisnf01] Visto che \(f(t,y)\) è a crescita al più lineare in \(t\)*, le soluzioni locali possono essere prolungate in soluzioni massimali definite in tutto \(\mathbb{R}\)

[/*:m:2uisnf01]
[*:2uisnf01] Ogni soluzione massimale della EDO è di classe \(C^\infty\) (basta fare un semplice ragionamento per induzione, detto bootstrap).

[/*:m:2uisnf01]
[*:2uisnf01] La EDO ha come soluzione costante la \(\bar{y}(t):= -1/8\) (poiché infatti \(\bar{y}^\prime(t) =0=f(t,\bar{y}(t))\) per ogni \(t\)), e questa è l'unica soluzione costante.

[/*:m:2uisnf01]
[*:2uisnf01] Il grafico di ogni soluzione massimale non costante non può intersecare il grafico di \(\bar{y}\) (poiché altrimenti essa coinciderebbe con \(\bar{y}\) ovunque, per il teorema d'unicità); ergo ogni integrale massimale della EDO o è sempre \(<-1/8\) oppure \(>-1/8\).

[/*:m:2uisnf01]
[*:2uisnf01] Dato che:
\[
f(t,y) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad (t,y) \in \Omega_+ :=\Big( [0,\infty[\times [-1/8 ,\infty[\Big) \cup \Big(]-\infty, 0]\times ]-\infty ,-1/8]\Big)
\]
il grafico di ogni soluzione massimale \(y(t)\) che è \(>-1/8\) [risp. \(<-1/8\)] è strettamente crescente per \(t\geq 0\) [risp. \(t\leq 0\)] e strettamente decrescente per \(t\leq 0\) [risp. \(t\geq 0\)].
Pertanto il punto \(0\) è un punto di minimo [risp. massimo] assoluto per ogni soluzione massimale \(>-1/8\) [risp. \(<-1/8\)].


__________
* Come già detto altre volte, una funzione \(f(t,y)\) si dice a crescita al più lineare in \(y\) se e solo se esistono due funzioni \(M(t), Q(t)\) nonnegative continue tali che:
\[
|f(t,y)|\leq M(t)\ |y|+Q(t)
\]
per ogni \((t,y)\).[/*:m:2uisnf01][/list:u:2uisnf01]

Fatto ciò, passo a risolvere il problema.
Sia \(y(t)\) la soluzione massimale della EDO che soddisfa \(y(1)=7/8\); dato che \(y(1)>-1/8\), la soluzione \(y\) che voglio determinare è sempre \(>-1/8\), quindi essa è strettamente crescente in \([0,\infty[\) e strettamente decrescente in \(]-\infty ,0]\).
Tale soluzione, inoltre, soddisfa la relazione:
\[
\tag{1} \frac{y^\prime (t)}{8y(t) +1} = t
\]
giacché \(y(t)>-1/8\) (quindi posso dividere m.a.m. la EDO per \(8y(t)+1\) senza problemi); ora fisso un \(t\geq 0\) e tengo presente che la (1) si conserva passando alle funzioni integrali con punto iniziale \(1\) ed estremo superiore variabile \(t\geq 0\):
\[
\tag{2} \int_1^t \frac{y^\prime (\tau )}{8\ y(\tau ) +1}\ \text{d} \tau = \int_1^t \tau\ \text{d} \tau\; ;
\]
dato che \(y\) è strettamente crescente in \([0,\infty[\), è lecito fare nell'integrale al primo membro il cambiamento di variabile \(\theta = y(t)\), di modo che la (2) si muta in:
\[
\tag{3} \int_{7/8}^{y(t)} \frac{1}{8\theta +1}\ \text{d} \theta = \int_1^t \tau\ \text{d} \tau\; .
\]
A questo punto un semplice calcolo mostra che la (3) equivale a:
\[
\ln (8\theta +1) \Big|_{7/8}^{y(t)} = 4\ \tau^2 \Big|_1^t
\]
ossia a:
\[
\tag{4} \ln (8y(t)+1) = \ln 8 - 4 +4t^2
\]
che fornisce la soluzione \(y\) in forma implicita limitatamente ai valori \(t\geq 0\). Risolvendo la (4) per \(y\) ottengo:
\[
\tag{5} y(t)= \frac{1}{e^4}\ e^{4\ t^2} -\frac{1}{8}\; ,
\]
che è l'espressione elementare della mia soluzione massimale per \(t\in [0,\infty[\).

Ma, d'altra parte, la funzione fornita dalla (5) è definita anche in \(]-\infty ,0]\) e soddisfa il problema di Cauchy anche in tale insieme; poiché so che le soluzioni massimali di un problema di Cauchy sono uniche, deduco che la (5) fornisce l'espressione elementare della soluzione anche per \(t\leq 0\).

Pertanto la funzione \(y\) individuata dalla (5) è l'unica soluzione massimale del problema di Cauchy assegnato.

Nota che il minimo assoluto di \(y(t)\) è preso in \(0\) (come veniva fuori dall'analisi preliminare) e si ha:
\[
y(0)=\frac{1}{e^4}-\frac{1}{8} >-\frac{1}{8}\; .
\]