Equazione differenziale

[marioo91]

come faccio a risolvere queste equazioni differenziali?


*-Nel piano \(R^2\) con variabile (x; y) si risolva il problema differenziale con valori
iniziali:

$ partial_xu-y partial_yu=0 $
$ u(0,y) = siny AAy$


*- Sia (x; t) la variabile in \(R^2\) e siano b una costante reale e \(g = g(x)\) una funzione \(C^1\). Si risolva il seguente problema iniziale per l'equazione del trasporto:
$ u_t + bu_x = 1 $
$u(x,0)=g(x) AAx$

[Sk_Anonymous]

Dovresti proporre almeno un tentativo di risoluzione. In ogni modo, puoi guardare qui:
equazioni-alle-derivate-parziali-t49474.html

[marioo91]

non sapevo come affrontarle. domani cercherò di proporre una risoluzione.
ps: purtroppo le cose non le spiegano

[Sk_Anonymous]

A proposito del primo esercizio:

$[(dx)/(ds)=1] rarr [x(s-s_0,x_0)=s-s_0+x_0] rarr [x(s-s_0,0)=s-s_0]$

$[(dy)/(ds)=-y] rarr [y(s-s_0,y_0)=y_0e^(-(s-s_0))] rarr [y(s-s_0,t)=te^(-(s-s_0))]$

$[(du)/(ds)=0] rarr [u(s-s_0,u_0)=u_0] rarr [u(s-s_0,t)=sent]$

$[s-s_0=x] rarr [t=ye^(x)] rarr [u(x,y)=sen(ye^x)]$

[dissonance]

Come hai fatto, speculor...? Col metodo delle caratteristiche? Quindi per \(s\) intendi il parametro viaggiante lungo la curva caratteristica?

[Sk_Anonymous]

Certo, anche perchè non conosco altri metodi generali. Inoltre, preferisco integrare senza supporre $[s_0=0]$, anche se non sarebbe necessario. Non so perchè, ma ai tempi dell'università trovai questi argomenti particolarmente interessanti. Li studiai sullo Smirnov. A proposito, esistono altri metodi generali?

[marioo91]

ok il primo sono riuscito a farlo anche io studiandomi un pò il metodo delle caratteristiche, ammetto di aver dato una sbirciatina anche alla tua risoluzione perchè ogni tanto mi incasinavo con tutte le sostituzioni.
ora provo a fare il problema del trasporto e poi posto la soluzione nella speranza che sia giusta.

[dissonance]

"speculor": A proposito, esistono altri metodi generali?

Ci saranno sicuramente, però io non ne conosco. Se l'equazione è lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti te ne puoi uscire con una sostituzione, come nel caso dell'equazione del trasporto, ma vabbé, insomma, è una cosa piuttosto banale.

[Camillo]

Per il problema del trasporto trovo la soluzione $u(x,t)= t+ g(x-bt)$ .Ti torna ?

[marioo91]

sì per l'equazione del trasporto basta applicare la formula:
\( u(x,y) = g(x-bt) + \int_0^t f\ \text{d} t \)
\( u(x,y) = g(x-bt) + \int_o^t 1\ \text{d} t \)
\( u(x,y) = g(x-bt) + t \)

Grazie dell'aiuto datomi.
Se a qualcuno servisse ho trovato questo sito in cui spiegano bene le caratteristiche: http://www.scottsarra.org/shock/shock.html#eq2a