Equazione differenziale
Salve a tutti. Vorrei sapere se c'è qualche metodo per poter risolvere questa equazione differenziale, ad esempio con qualche sostituzione
\begin{align}
xf'(x)+f^2(x)=1-x^2
\end{align}
Grazie mille per un'eventuale risposta.
\begin{align}
xf'(x)+f^2(x)=1-x^2
\end{align}
Grazie mille per un'eventuale risposta.
Risposte
Soluzioni se ne trovano, tuttavia esse non sono funzioni elementari.
Infatti si dimostra (vedi spoiler sotto) che la tua EDO è riconducibile ad un'equazione di Bessel.
Tanto per curiosità, da dove esce fuori questa equazione?
P.S.: Ah, la EDO proposta rientra nella categoria delle equazioni di Riccati, che erano molto di moda nel 1700. In particolare, la sostituzione che ho usato (se non ricordo male) è stata utilizzata per la prima volta da Eulero per linearizzare l'equazione.
Infatti si dimostra (vedi spoiler sotto) che la tua EDO è riconducibile ad un'equazione di Bessel.
Tanto per curiosità, da dove esce fuori questa equazione?
P.S.: Ah, la EDO proposta rientra nella categoria delle equazioni di Riccati, che erano molto di moda nel 1700. In particolare, la sostituzione che ho usato (se non ricordo male) è stata utilizzata per la prima volta da Eulero per linearizzare l'equazione.
Buongiorno.
La ringrazio di cuore per la meticolosa spiegazione e chiarezza con cui ha illustrato il procedimento.
L'equazione differenziale viene fuori da un problema di fisica ed in particolar modo dal problema delle frequenze di cutoff dei modi in guida d'onda circolare sotto particolari condizioni. Le guide d'onda circolari ordinarie hanno infatti come funzioni che governano il campo elettrico e il campo magnetico (trovati sempre a partire dalle equazioni di Maxwell) combinazioni lineari di funzioni di Bessel di ordine m generico. A me interessavano i modi con indice m=1 e infatti mi aspettavo di trovare come Sua risposta un qualcosa che avesse a che fare con l'equazione differenziale ordinaria di Bessel. E mi ha sorpreso come abbia azzeccato il modo m=1
.
Qualora avessi ancora bisogno potrei ricontattarLa nuovamente anche tramite messaggi in privato sempre su questo forum?
La ringrazio ancora per la Sua disponibilità.
La ringrazio di cuore per la meticolosa spiegazione e chiarezza con cui ha illustrato il procedimento.
L'equazione differenziale viene fuori da un problema di fisica ed in particolar modo dal problema delle frequenze di cutoff dei modi in guida d'onda circolare sotto particolari condizioni. Le guide d'onda circolari ordinarie hanno infatti come funzioni che governano il campo elettrico e il campo magnetico (trovati sempre a partire dalle equazioni di Maxwell) combinazioni lineari di funzioni di Bessel di ordine m generico. A me interessavano i modi con indice m=1 e infatti mi aspettavo di trovare come Sua risposta un qualcosa che avesse a che fare con l'equazione differenziale ordinaria di Bessel. E mi ha sorpreso come abbia azzeccato il modo m=1

Qualora avessi ancora bisogno potrei ricontattarLa nuovamente anche tramite messaggi in privato sempre su questo forum?
La ringrazio ancora per la Sua disponibilità.