Equazione differenziale

[mirko851]

Salve a tutti. Vorrei sapere se c'è qualche metodo per poter risolvere questa equazione differenziale, ad esempio con qualche sostituzione

\begin{align}
xf'(x)+f^2(x)=1-x^2
\end{align}

Grazie mille per un'eventuale risposta.

[gugo82]

Soluzioni se ne trovano, tuttavia esse non sono funzioni elementari.
Infatti si dimostra (vedi spoiler sotto) che la tua EDO è riconducibile ad un'equazione di Bessel.

Dividendo ambo i membri di:
\[
\tag{1} x\ f^\prime (x) +f^2(x)=1-x^2
\]
per \(x^2\) si trova:
\[
\frac{1}{x}\ f^\prime (x) +\frac{1}{x^2}\ f^2(x)=\frac{1}{x^2} -1\; .
\]
Detta \(\phi (x)\) una primitiva di \(1/x\ f(x)\), proviamo la sostituzione:
\[
\tag{S} u(x) =\exp (\phi (x))\; ;
\]
dalla precedente si ricava:
\[
\begin{split}
u^\prime (x) &=\phi^\prime (x)\ u(x) =\frac{1}{x}\ f(x)\ u(x)\\
u^{\prime \prime} (x) &= -\frac{1}{x^2}\ f(x)\ u(x) +\frac{1}{x}\ f^\prime (x)\ u(x) +\frac{1}{x^2}\ f^2(x)\ u(x)\\
&= -\frac{1}{x}\ u^\prime (x)+\left( \frac{1}{x}\ f^\prime (x) +\frac{1}{x^2}\ f^2(x) \right)\ u(x)
\end{split}
\]
sicché l'equazione si trasforma in:
\[
u^{\prime \prime} + \frac{1}{x}\ u^\prime (x) +\left( 1-\frac{1}{x^2}\right)\ u(x)=0
\]
ossia:
\[
\tag{2} x^2\ u^{\prime \prime} (x)+x\ u^\prime (x) + (x^2-1)\ u(x)=0
\]
che è l'equazione di Bessel d'ordine \(\nu =1\).
Ne viene che l'integrale generale di (2) è:
\[
u(x)=A\ \text{J}_1(x)+B\ \text{Y}_1(x) \qquad \text{(} A \text{ e } B \text{ costanti arbitrarie)}
\]
e che l'integrale generale della (1) si ricava sostituendo a ritroso in (S): derivando si trova:
\[
f(x) = x\ \frac{u^\prime (x)}{u(x)}\; ,
\]
cioè la generica soluzione \(f\) della (1) è la derivata logaritmica di una combinazione lineare di funzioni di Bessel d'ordine \(1\). Tenendo presenti le formule di derivazione:
\[
2\ \text{J}_\nu^\prime (x) =\text{J}_{\nu -1} (x)-\text{J}_{\nu +1} (x) \qquad \text{e} \qquad 2\ \text{Y}_\nu^\prime (x) =\text{Y}_{\nu -1} (x)-\text{Y}_{\nu +1} (x)
\]
si vede che:
\[
f(x) = \frac{x}{2}\ \frac{A\text{J}_0 (x)+B\text{Y}_0 (x) -A\text{J}_2 (x)-B\text{Y}_2 (x)}{A\ \text{J}_1(x)+B\ \text{Y}_1(x)}\; .
\]
La cosa che appare strana, ad una prima occhiata, è che la \(f\) dipenda da due costanti arbitrarie pur essendo soluzione di una EDO del primo ordine; tuttavia, per omogeneità, si vede che in realtà \(f\) dipende unicamente dal rapporto di \(A\) e \(B\) (che è definibile, dato che, escludendo casi banali in (2), almeno una tra le due costanti è non nulla): infatti, supponendo che \(A\neq 0\) si può dividere numeratore e denominatore per \(A\) e, posto \(C:=B/A\), così si trova:
\[
f(x) = \frac{x}{2}\ \frac{\text{J}_0 (x)-\text{J}_2 (x)+C\ [\text{Y}_0 (x)-\text{Y}_2 (x)]}{\text{J}_1(x)+C\ \text{Y}_1(x)}\; ,
\]
che è una delle due forme possibili per l'integrale generale, l'altra essendo:
\[
f(x) = \frac{x}{2}\ \frac{D\ [\text{J}_0 (x)-\text{J}_2 (x)]+\text{Y}_0 (x)-\text{Y}_2 (x)}{D\ \text{J}_1(x)+\text{Y}_1(x)}
\]
con \(D:=A/B\).

Tanto per curiosità, da dove esce fuori questa equazione?


P.S.: Ah, la EDO proposta rientra nella categoria delle equazioni di Riccati, che erano molto di moda nel 1700. In particolare, la sostituzione che ho usato (se non ricordo male) è stata utilizzata per la prima volta da Eulero per linearizzare l'equazione.

[mirko851]

Buongiorno.
La ringrazio di cuore per la meticolosa spiegazione e chiarezza con cui ha illustrato il procedimento.
L'equazione differenziale viene fuori da un problema di fisica ed in particolar modo dal problema delle frequenze di cutoff dei modi in guida d'onda circolare sotto particolari condizioni. Le guide d'onda circolari ordinarie hanno infatti come funzioni che governano il campo elettrico e il campo magnetico (trovati sempre a partire dalle equazioni di Maxwell) combinazioni lineari di funzioni di Bessel di ordine m generico. A me interessavano i modi con indice m=1 e infatti mi aspettavo di trovare come Sua risposta un qualcosa che avesse a che fare con l'equazione differenziale ordinaria di Bessel. E mi ha sorpreso come abbia azzeccato il modo m=1 .
Qualora avessi ancora bisogno potrei ricontattarLa nuovamente anche tramite messaggi in privato sempre su questo forum?
La ringrazio ancora per la Sua disponibilità.