Equazione differenziale (85330)

[Frappo]

Ciao.
Mi potreste risolvere questa equazione differenziale ?
y''-y=1/(e^t -1)
Non capisco soprattutto come trovare la particolare visto che la funzione non è delle più simpatiche :/
Grazie.

[Sabry_92]

[math]y''(t)- y(t)=q(t)=\frac{1}{e^{t}-1}[/math]

Trattasi di un'equazione differenziale ordinaria, di secondo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea.

1) Trovare le radici del polinomio associato all'equazione differenziale omogenea :

[math]\;\;p(r)=r^2-1=0\;\Rightarrow\;r_{1,2}=\pm 1\; .[/math]

2) Determinare la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata :

[math]\;\;y_{o}(t)=c_{1}e^t+c_{2}e^{-t}\;\;per\;c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\; .[/math]

3) Determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale in esame usufruendo del METODO DI VARIAZIONE DELLE COSTANTI :

3.1) si considerano le 2 soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata :

[math]\;\;\;\;y_{1}(t)=e^{-t}\;\;y_{2}(t)=e^t\; ;[/math]

3.2) si cerca una soluzione particolare dell'equazione differenziale nella forma :

[math]\;\;\;\;y_{p}(t)=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)=c_{1}(t)e^{-t}+c_{2}(t)e^t\; ;[/math]

3.3) si risolve il seguente sistema lineare nelle 2 incognite

[math]c_{1,2}'(t)[/math]

:

[math]\;\;\;\;\begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=q(t)\end{cases}[/math]

..... che nel nostro caso equivale a :

[math]\;\;\;\;\begin{cases}c_{1}'(t)e^{-t}+c_{2}'(t)e^t=0\\-c_{1}'(t)e^{-t}+c_{2}'(t)e^t=\frac{1}{e^{t}-1}\end{cases}[/math]

3.4) il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea :

[math]\;\;\;\;W(t)=\begin{vmatrix} e^{-t} & e^{t} \\ \frac{de^{-t}}{dt} & \frac{de^{t}}{dt} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} e^{-t} & e^{t} \\ -e^{-t} & e^{t} \end{vmatrix}=2\; ;[/math]

3.5) si determinano dunque le funzioni incognite

[math]c_{1,2}(t)[/math]

integrando i 2 termini del sistema di cui sopra con le quali ottenere finalmente la soluzione particolare

[math]y_{p}(t)[/math]

:

[math]\;\;\;\;c_{1}(t)=-\int \frac{q(t)y_{2}(t)}{W(t)}\, dt=-\int \frac{e^{t}}{2\left( e^{t}-1 \right)}\, dt=-\frac{1}{2}\ln{\left | e^{t}-1 \right|}\; ;[/math]

[math]\;\;\;\;c_{2}(t)=\int \frac{q(t)y_{1}(t)}{W(t)}\, dt=\int \frac{e^{-t}}{2\left( e^{t}-1 \right)}\, dt=\frac{1}{2}\left(e^{-t}+\ln{\left | e^{t}-1 \right|}-t\right)\; ;[/math]

[math]\Rightarrow y_{p}(t)=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}\ln{\left | e^{t}-1 \right|}e^{-t}+\frac{1}{2}\left(e^{-t}+\ln{\left | e^{t}-1 \right|} - t \right)e^{t}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left(e^{t}-e^{-t}\right)\ln{\left|e^{t}-1 \right |}-\frac{t}{2}e^{t}+\frac{1}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln{\left|e^{t}-1 \right |}sinh(t)-\frac{t}{2}e^{t}+\frac{1}{2}\; .[/math]

4) La soluzione completa dell'equazione differenziale è data semplicemente dalla somma algebrica della soluzione dell'equazione omogenea associata e di una soluzione particolare :

[math]\;\;y(t)=\left(c_{1}-\frac{t}{2}\right)e^t+c_{2}e^{-t}+\ln{\left|e^{t}-1 \right |}sinh(t)+\frac{1}{2}\;\;per\;c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\; .[/math]

Spero di essermi spiegata a sufficienza ;)