Equazione differenziale
Ciao a tutti
ho un'equazione differenziale che mi sta dando qualche problema
[tex]\frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} = E f(x)[/tex]
forse mi sbaglio ma io l'ho vista come equazione differenziale di secondo grado omogenea
Se chiamo $f(x) = y$ ho
[tex]y'' - E y = 0[/tex]
nell'intervallo [tex]x \in [-1,1][/tex] con condizioni al contorno $f(1) = f(-1)=0$
la cui equazione algebrica diventa
[tex]\lambda^{2} - E = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \pm \sqrt{E}[/tex]
essendo le due soluzioni reali e distinte, allora la soluzione dell'eq. differenziale dovrebbe essere nella forma
[tex]y = c_{1} e^{\lambda_{1}x} + c_{2} e^{\lambda_{2}x}[/tex] ovvero
[tex]y = c_{1} e^{\sqrt{E}x} + c_{2} e^{-\sqrt{E}x}[/tex]
usando le condizioni trovo:
per $f(1) = 0 $
[tex]c_{1} e^{\sqrt{E}} + c_{2} e^{-\sqrt{E}} = 0 \Rightarrow c_{1 } = -c_{2}e^{-2\sqrt{E}}[/tex]
per $f(-1) = 0 $
[tex]c_{1} e^{-\sqrt{E}} + c_{2} e^{\sqrt{E}} = 0[/tex]
ma sostituendo trovo $c_1 = c_2 = 0$
che mi annulla l'equazione differenziale
dove sbaglio?
grazie a tutti
Ciao
ho un'equazione differenziale che mi sta dando qualche problema
[tex]\frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} = E f(x)[/tex]
forse mi sbaglio ma io l'ho vista come equazione differenziale di secondo grado omogenea
Se chiamo $f(x) = y$ ho
[tex]y'' - E y = 0[/tex]
nell'intervallo [tex]x \in [-1,1][/tex] con condizioni al contorno $f(1) = f(-1)=0$
la cui equazione algebrica diventa
[tex]\lambda^{2} - E = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \pm \sqrt{E}[/tex]
essendo le due soluzioni reali e distinte, allora la soluzione dell'eq. differenziale dovrebbe essere nella forma
[tex]y = c_{1} e^{\lambda_{1}x} + c_{2} e^{\lambda_{2}x}[/tex] ovvero
[tex]y = c_{1} e^{\sqrt{E}x} + c_{2} e^{-\sqrt{E}x}[/tex]
usando le condizioni trovo:
per $f(1) = 0 $
[tex]c_{1} e^{\sqrt{E}} + c_{2} e^{-\sqrt{E}} = 0 \Rightarrow c_{1 } = -c_{2}e^{-2\sqrt{E}}[/tex]
per $f(-1) = 0 $
[tex]c_{1} e^{-\sqrt{E}} + c_{2} e^{\sqrt{E}} = 0[/tex]
ma sostituendo trovo $c_1 = c_2 = 0$
che mi annulla l'equazione differenziale
dove sbaglio?
grazie a tutti
Ciao
Risposte
Tu stai implicitamente assumendo $ E\ge 0$, nel qual caso hai solo la soluzione nulla.
Puoi provare a considerare il caso $E = - \omega^2 < 0$; in tal modo la tua equazione diventa
\[ y'' + \omega^2 y = 0 \]
che dovrebbe esserti familiare.
Puoi provare a considerare il caso $E = - \omega^2 < 0$; in tal modo la tua equazione diventa
\[ y'' + \omega^2 y = 0 \]
che dovrebbe esserti familiare.
cavolo che salame che sono!!!
hai ragione grazie! risolto tutto
hai ragione grazie! risolto tutto
@Rigel:
Ho provato a seguire il ragionamento che mi hai indicato, ma a meno che io non sbagli qualcosa, non arrivo comunque a qualche risultato
poniamo [tex]E = -\omega^{2}[/tex]
l'equazione differenziale diventa
[tex]y'' + \omega^{2}y=0[/tex] la cui equazione algebrica diventa [tex]\lambda^{2} + \omega^{2}=0[/tex]
da cui le soluzioni [tex]\lambda_{1,2} = \pm i\omega[/tex]
la soluzione dell'equazione differenziale quindi è nella forma
[tex]y = c_{1} sin(\omega x) + c_{2} cos(\omega x)[/tex]
ponendo le condizioni iniziali abbiamo
[tex]y(1) = 0[/tex] da cui [tex]y = c_{1} sin(\omega) + c_{2} cos(\omega)=0[/tex]
ricavo [tex]c_{2} = -c_{1} tg(\omega)[/tex]
dalla seconda condizione iniziale ho
[tex]y(-1) = 0[/tex] da cui [tex]y = c_{1} sin(-\omega) + c_{2} cos(-\omega) = 0[/tex]
la funzione seno è dispari e la funzione coseno è pari quindi riscrivo il tutto nella forma
[tex]y = -c_{1} sin(\omega) + c_{2} cos(\omega) = 0[/tex]
sostituisco [tex]c_{2} = -c_{1} tg(\omega)[/tex] e ottengo
[tex]-c_{1} sin(\omega) -c_{1} tg(\omega) cos(\omega) = 0 \Rightarrow -c_{1} sin(\omega) -c_{1} sin(\omega) = 0[/tex]
che non mi porta a nulla
sbaglio qualcosa?
Ho provato a seguire il ragionamento che mi hai indicato, ma a meno che io non sbagli qualcosa, non arrivo comunque a qualche risultato
poniamo [tex]E = -\omega^{2}[/tex]
l'equazione differenziale diventa
[tex]y'' + \omega^{2}y=0[/tex] la cui equazione algebrica diventa [tex]\lambda^{2} + \omega^{2}=0[/tex]
da cui le soluzioni [tex]\lambda_{1,2} = \pm i\omega[/tex]
la soluzione dell'equazione differenziale quindi è nella forma
[tex]y = c_{1} sin(\omega x) + c_{2} cos(\omega x)[/tex]
ponendo le condizioni iniziali abbiamo
[tex]y(1) = 0[/tex] da cui [tex]y = c_{1} sin(\omega) + c_{2} cos(\omega)=0[/tex]
ricavo [tex]c_{2} = -c_{1} tg(\omega)[/tex]
dalla seconda condizione iniziale ho
[tex]y(-1) = 0[/tex] da cui [tex]y = c_{1} sin(-\omega) + c_{2} cos(-\omega) = 0[/tex]
la funzione seno è dispari e la funzione coseno è pari quindi riscrivo il tutto nella forma
[tex]y = -c_{1} sin(\omega) + c_{2} cos(\omega) = 0[/tex]
sostituisco [tex]c_{2} = -c_{1} tg(\omega)[/tex] e ottengo
[tex]-c_{1} sin(\omega) -c_{1} tg(\omega) cos(\omega) = 0 \Rightarrow -c_{1} sin(\omega) -c_{1} sin(\omega) = 0[/tex]
che non mi porta a nulla
sbaglio qualcosa?
Nelle tue notazioni, il sistema è
\[ \begin{cases}
-c_1 \sin\omega + c_2 \cos\omega = 0, \\
c_1 \sin\omega + c_2\cos\omega = 0.
\end{cases}
\]
Essendo un sistema omogeneo nelle incognite $(c_1, c_2)$, esso ammette soluzioni non nulle se e solo se
\[
\det \left| \begin{array}{cc} -\sin\omega & \cos\omega \\ \sin\omega & \cos\omega \end{array} \right| = 0,
\]
ovvero se e solo se $\sin(2\omega) = 0$. Da questa condizione ricavi i valori $\omega_k$ per i quali il sistema ammette soluzioni non nulle.
\[ \begin{cases}
-c_1 \sin\omega + c_2 \cos\omega = 0, \\
c_1 \sin\omega + c_2\cos\omega = 0.
\end{cases}
\]
Essendo un sistema omogeneo nelle incognite $(c_1, c_2)$, esso ammette soluzioni non nulle se e solo se
\[
\det \left| \begin{array}{cc} -\sin\omega & \cos\omega \\ \sin\omega & \cos\omega \end{array} \right| = 0,
\]
ovvero se e solo se $\sin(2\omega) = 0$. Da questa condizione ricavi i valori $\omega_k$ per i quali il sistema ammette soluzioni non nulle.
ma se $omega$ è una costante, non capisco come io debba ricavare dei valori di $omega$
in qualsiasi caso, se ho capito bene usi il teorema di Rouche Capelli
il rango della matrice orlata sarà sempre 1 perchè la matrice ha una colonna di tutti zeri
quindi perchè il rango della matrice non orlata sia pari al rango della matrice orlata dobbiamo porre la condizione che tu stesso hai indicato calcolando il determinante
Ma così abbiamo che i due ranghi sono uguali, ma non sono pari al numero di incognite (in questo caso due)
quindi il sistema ammette [tex]\infty^{1}[/tex] soluzioni
questo dove mi porta?
significa che posso prendere le constanti in modo arbitrario?
in qualsiasi caso, se ho capito bene usi il teorema di Rouche Capelli
il rango della matrice orlata sarà sempre 1 perchè la matrice ha una colonna di tutti zeri
quindi perchè il rango della matrice non orlata sia pari al rango della matrice orlata dobbiamo porre la condizione che tu stesso hai indicato calcolando il determinante
Ma così abbiamo che i due ranghi sono uguali, ma non sono pari al numero di incognite (in questo caso due)
quindi il sistema ammette [tex]\infty^{1}[/tex] soluzioni
questo dove mi porta?
significa che posso prendere le constanti in modo arbitrario?
Tu vuoi trovare i valori di $E=-\omega^2$, e dunque di $\omega$, per i quali il tuo problema ammette soluzioni non nulle.
Per la maggior parte dei valori di $\omega$ questo non è possibile (l'unica soluzione è quella nulla); per alcuni valori di $\omega$ (quelli tali che $\sin(2\omega) = 0$) questo è invece possibile.
Per la maggior parte dei valori di $\omega$ questo non è possibile (l'unica soluzione è quella nulla); per alcuni valori di $\omega$ (quelli tali che $\sin(2\omega) = 0$) questo è invece possibile.
scusa ho modificato il mio post mentre tu stavi scrivendo
E' corretto che, quando ci sono soluzioni, queste debbano essere $\infty^1$; se $y(x) = c_1 \sin\omega x + c_2\cos\omega x$ è soluzione, lo sarà anche $\lambda y$ per ogni $\lambda\in\RR$.
Scusami ma devo chiederti di essere più concreto nelle risposte...
non ci sto capendo più nulla quindi se mi dai solo risposte di questo tipo mi perdo ancora di più
se ho infinite soluzioni, i coefficienti $c_1$ e $c_2$ li posso determinare o no?
sono arbitrari quindi li scelgo a seconda di come mi viene comodo?
non ci sto capendo più nulla quindi se mi dai solo risposte di questo tipo mi perdo ancora di più
se ho infinite soluzioni, i coefficienti $c_1$ e $c_2$ li posso determinare o no?
sono arbitrari quindi li scelgo a seconda di come mi viene comodo?
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