Equazione differenziale

[030366]

Salve a tutti

qualcuno sa spiegarmi come risolvere, o suggerirmi come, questa equazionedifferenziale?

$ y''+2e^x y'=0 $

grazie!

[gugo82]

Basta introdurre la variabile ausiliaria [tex]$z(x)=y^\prime (x)$[/tex] per trasformare l'equazione in una del primo ordine.

Oppure, basta moltiplicare m.a.m. l'equazione per [tex]$e^{2 e^x}$[/tex] e constatare che, fatto ciò, il primo membro si può scrivere come [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} x} [e^{2e^x} y^\prime (x)]$[/tex].

Ad ogni modo, devi integrare due volte per ottenere il risultato.


P.S.: La tecnica che ho proposto come seconda soluzione si può generalizzare: se hai un'equazione del tipo [tex]$y^{(n+1)} +q(x) y^{(n)}=f(x)$[/tex], allora basta moltiplicare m.a.m. per il fattore integrante [tex]$e^{Q(x)}$[/tex] (ove [tex]$Q(x)$[/tex] è una qualsiasi primitiva di [tex]$q(x)$[/tex]) per riscrivere l'equazione come:

[tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} x} [e^{Q(x)} y^{(n)} (x)] =e^{Q(x)} f(x)$[/tex];

in tal modo, il risultato si ottiene integrando [tex]$n+1$[/tex] volte la precedente.