Equazione Differenziale

[soni5]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questa equazione differenziale [tex]$y'=-\frac{x^2+y}{x+y}$[/tex], il problema è che non riesco a classificarla in un di quelle tipologie che so risolvere. Non è a variabili separabili, non è del tipo omogeno generalizzato, e neppure di bernulli o eulero... da dove dovrei partire per risolverla?

[shatteringlass]

Prova a porre $y/x=v$ e conseguentemente avrai $y'=(dv)x+(dx)v$

[soni5]

Grazie. Trovato [tex]$y'=v'x+v$[/tex] devo imporre la seguente uguaglianza giusto? [tex]$v'x+v=\frac{x+2v+v^2}{x(1+z)}$[/tex], ma resta comunque quell'$x$ a nominatore, come continuo?

[shatteringlass]

L'equazione diventerà $v'x+v=-((x^2+vx)/(x+vx))$ che è una non lineare del primo ordine.

[soni5]

Ok, ma quindi per il fatto che è non lineare come posso procedere?... scusate l'ignoranza

[shatteringlass]

Sinceramente non so aiutarti più di così. So che ti viene fuori una equazione differenziale di abel (2° tipo) ma non so come risolverla! Al momento le equazioni di Abel e quelle di Riccati sono off limits per me...

[dissonance]

Non si riesce ad integrare come equazione differenziale esatta? Mi sa di si. Per istruzioni si può consultare Berti, §4.2.2 pag. 57.

[shatteringlass]

ok, il differenziale è esatto...secondo me però questo metodo risolutivo esula dalle competenze di uno studente di analisi 1...per cui io, da bravo ignorante, mi chiamo fuori

[ciampax]

Suggerimento: Prova a porre $z=x+y$ e vedi che succede....

[soni5]

@ciampax, ho letto adesso.
Ottengo [tex]$z'=-\frac{x^2+y}{z}$[/tex] poi sostituisco $y=z-x$ (è corretto?), quindi [tex]$z'=-\frac{x^2+z-x}{z}$[/tex] è un'altra equazione differenziale esatta?